[论文解读] Smooth perturbations of the functional calculus and applications to Riemannian geometry on spaces of metrics

Harms, Philipp|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 65被引用 4

一句话总结

本文建立了在黎曼几何相关的一类算子中，函数演算对算子的全纯依赖性，证明了分数阶拉普拉斯算子在索伯列夫拓扑下关于黎曼度量实解析依赖。作为关键应用，本文证明了在所有黎曼度量空间上，分数阶索伯列夫度量的测地线方程具有局部适定性。

ABSTRACT

We show that the functional calculus, which maps operators A to functionals f(A), is holomorphic for a certain class of operators A and holomorphic functions f. Using this result we are able to prove that fractional Laplacians depend real analytically on the underlying Riemannian metric in suitable Sobolev topologies. As an application we obtain local well-posedness of the geodesic equation for fractional Sobolev metrics on the space of all Riemannian metrics. (Joint work with Martins Bruveris, Martin Bauer, and Peter W. Michor)

研究动机与目标

• 建立与几何分析相关的算子类的函数演算的全纯性。
• 研究分数阶拉普拉斯算子在索伯列夫拓扑下对底层黎曼度量的依赖性。
• 将函数演算结果应用于无限维黎曼度量空间上的几何结构研究。
• 证明在所有黎曼度量空间上，分数阶索伯列夫度量的测地线方程具有局部适定性。

提出的方法

• 利用特定算子类的全纯函数演算，以确保对参数的解析依赖性。
• 在适当的算子和函数条件下，证明函数演算映射 A ↦ f(A) 是全纯的。
• 将全纯性结果应用于随黎曼度量变化的拉普拉斯-贝尔特拉米算子族。
• 证明分数阶拉普拉斯算子 f(Δ_g) 在适当的索伯列夫拓扑下对度量 g 实解析依赖。
• 利用实解析依赖性分析度量空间上测地线喷射的正则性。
• 利用分析框架建立分数阶索伯列夫度量下测地线的局部存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对于一类算子 A，函数演算映射 A ↦ f(A) 是全纯的？
• RQ2 在索伯列夫拓扑下，分数阶拉普拉斯算子 f(Δ_g) 如何依赖于黎曼度量 g？
• RQ3 分数阶拉普拉斯算子对度量的实解析依赖性是否可用于建立度量空间的几何性质？
• RQ4 在黎曼度量空间上，分数阶索伯列夫度量的测地线方程是否局部适定？
• RQ5 在分数阶索伯列夫度量的度量空间背景下，测地线喷射的正则性如何？

主要发现

• 对于一类算子 A 和全纯函数 f，函数演算映射 A ↦ f(A) 是全纯的。
• 分数阶拉普拉斯算子在适当的索伯列夫拓扑下对底层黎曼度量实解析依赖。
• 分数阶拉普拉斯算子对度量的实解析依赖性，使得能够分析度量空间上的几何流。
• 在所有黎曼度量空间上，分数阶索伯列夫度量的测地线方程是局部适定的。
• 分析框架为研究度量空间的无限维黎曼几何提供了基础。
• 本结果将函数演算的应用范围扩展至黎曼度量空间上的几何分析。