[论文解读] Smooth Rényi Entropy of Ergodic Quantum Information Sources

Berry Schoenmakers, Jilles Tjoelker+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用 6

一句话总结

该论文证明了平稳遍历量子信息源的平均平滑Rényi熵率收敛于冯·诺依曼熵率，将先前针对i.i.d.源的结果推广至遍历源。作者通过谱分解将量子情形约化为经典情形，并利用渐近均分性原理（AEP）完成证明。

ABSTRACT

We prove that the average smooth Renyi entropy rate will approach the entropy rate of a stationary, ergodic information source, which is equal to the Shannon entropy rate for a classical information source and the von Neumann entropy rate for a quantum information source.

研究动机与目标

• 将平滑Rényi熵率的收敛性从i.i.d.源推广至平稳遍历量子信息源。
• 建立平均平滑Rényi熵率对经典与量子遍历源均趋近于熵率的结论。
• 证明可通过密度矩阵的谱分解将量子情形约化为经典情形。
• 分析两种不同的ε-接近度定义（迹距离与非归一化分布）对经典与量子情形下平滑Rényi熵的影响。
• 证明在两种ε-接近度定义下，平滑Rényi熵的收敛速率均被保持，且对α ≠ 0给出了量化差异。

提出的方法

• 使用两种ε-接近度定义（迹距离与非归一化分布）定义经典与量子源的平滑Rényi熵。
• 利用谱分解将量子态ρ表示为其本征值的概率分布λ，从而实现量子平滑Rényi熵向经典平滑Rényi熵的约化。
• 对经典源应用渐近均分性原理（AEP），推导出平滑Rényi熵率收敛于香农熵率。
• 利用量子平滑Rényi熵与本征值分布的经典平滑Rényi熵之间的等价性：$ S_{ u}^{ u}( ho) = H_{ u}^{ u}( u) $。
• 证明在两种ε-接近度定义下熵率收敛性均成立，并给出两种定义之间差异的界。
• 利用如下事实：当α < 1时，$ H_{ u}^{ u}( u) = ext{inf}_{ u ext{ in } u^{ u}( u)} H_{ u}( u) $，且对量子态亦有类似关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于遍历量子信息源，平均平滑Rényi熵率是否如在i.i.d.源中一样收敛于熵率？
• RQ2 是否可通过密度矩阵的谱分解将量子平滑Rényi熵率约化为经典情形？
• RQ3 基于迹距离与非归一化分布的两种不同ε-接近度定义，如何影响平滑Rényi熵的取值？
• RQ4 在两种ε-接近度定义下，平滑Rényi熵值的定量差异为何？该差异在何时达到最大？
• RQ5 在遍历设定下，平滑Rényi熵的收敛速率是否在两种ε-接近度定义下均被保持？

主要发现

• 平稳遍历量子源的平均平滑Rényi熵率收敛于冯·诺依曼熵率，推广了i.i.d.情形的结果。
• 当α < 1时，量子态ρ的平滑Rényi熵等于其本征值分布λ的平滑Rényi熵：$ S_{ u}^{ u}( ho) = H_{ u}^{ u}( u) $。
• 在两种ε-接近度定义下，平滑Rényi熵值的差异被有界于$ rac{ u}{ u - 1} ext{log}(1 - u) $（当α ∈ [0,1)时），且最大差异出现在均匀分布时。
• 当α = 0（最大熵）时，两种ε-接近度定义给出的平滑Rényi熵值完全相同。
• 平滑Rényi熵向熵率的收敛速率与经典情形相同，如引理1与引理2的类比所示。
• 通过谱分解，量子情形可被完全约化为经典情形，且熵率收敛性得以保持。