[论文解读] Smooth rigidity for 3-dimensional volume preserving Anosov flows and weighted marked length spectrum rigidity

Andrey Gogolev, Federico Rodriguez Hertz|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2022

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 4

一句话总结

该论文建立了三维保体积Anosov流的新光滑刚性定理：若两个此类流拓扑共轭，则共轭光滑，除非两者均为Anosov环面自同态的常数屋顶悬挂流。该结果消除了对周期轨道上稳定/不稳定特征值匹配的假设，仅依赖于周期匹配，其应用包括带权标记长度谱刚性以及二维环面上Anosov微分同胚的刚性。

ABSTRACT

Let $X_1^t$ and $X_2^t$ be volume preserving Anosov flows on a 3-dimensional manifold $M$. We prove that if $X_1^t$ and $X_2^t$ are $C^0$ conjugate then the conjugacy is, in fact, smooth, unless $M$ is a mapping torus of an Anosov automorphism of $\mathbb T^2$ and both flows are constant roof suspension flows. We deduce several applications. Among them is a new result on rigidity of Anosov diffeorphisms on $\mathbb T^2$ and a new "weighted" marked length spectrum rigidity result for surfaces of negative curvature.

研究动机与目标

• 在比以往已知更弱的假设下，建立三维保体积Anosov流的光滑刚性。
• 确定仅凭周期匹配（无需特征值匹配）是否能推出光滑共轭。
• 通过识别光滑共轭唯一障碍，解决低维双曲动力系统中的结构刚性问题。
• 将结果应用于证明二维环面上Anosov微分同胚的新刚性定理，以及负曲率曲面上带权标记长度谱的刚性。

提出的方法

• 以两个在3-流形上$ C^r $、$ r>2 $、保体积的Anosov流之间的共轭为起点。
• 分析共轭光滑性的障碍，重点关注周期轨道处线性化Poincaré回传映射的特征值。
• 应用Journé的正则性引理，在一般条件下将$ C^0 $共轭提升为$ C^{r_*} $光滑性。
• 识别例外情况：当两个流均为$ \mathbb{T}^2 $上Anosov自同态的常数屋顶悬挂流时，特征值匹配成为必要条件。
• 利用平衡态和遍历理论分析带权标记长度谱，利用上循环差的上同调性质。
• 应用交替Livshits定理，得出若上循环差上同调于零，则原上循环为上边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两个三维保体积Anosov流之间的$ C^0 $共轭可推出光滑共轭？
• RQ2 是否可在不假设对应周期轨道上稳定与不稳定特征值匹配的前提下，建立共轭的光滑性？
• RQ3 在缺乏特征值匹配时，光滑共轭的精确障碍是什么，且该障碍是否是最小的？
• RQ4 该结果能否推广至负曲率曲面上带权标记长度谱的刚性？
• RQ5 在$ \mathbb{T}^2 $上$ C^r $ Anosov流之间，共轭是否在无特征值匹配假设下仍为光滑，这对动力系统意味着什么？

主要发现

• 两个在3-流形上$ C^r $、$ r>2 $、保体积的Anosov流之间的$ C^0 $共轭，除非两者均为$ \mathbb{T}^2 $上Anosov自同态的常数屋顶悬挂流，否则为$ C^{r_*} $光滑。
• 光滑共轭的唯一障碍是常数屋顶悬挂流的例外情况，此时特征值匹配成为必要条件。
• 该结果推出二维环面上$ C^r $ Anosov微分同胚的新刚性定理：共轭蕴含光滑共轭。
• 在负曲率曲面上，建立了带权标记长度谱的新刚性结果：由Hölder上循环加权的谱可唯一确定度量（模等距同构）。
• 证明依赖于如下事实：若两个上循环的平衡态相等，则其差上同调于零，这通过交替Livshits定理推出上循环为上边界。
• 关键技术步骤使用鸽巢原理论证：从$ \{1,\dots,N+1\}^N $到有限测度集的映射必存在两个不同的原像映射到同一测度，从而实现上同调结论。