[论文解读] Smooth Solutions to a Class of Nonlocal Fully Nonlinear Elliptic Equations

Hui Yu|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文通过发展一种稳健的逐次正则性理论，建立了广义非局部完全非线性椭圆方程光滑解的存在性。证明了当右端项光滑且边界数据有界且一致连续时，解在区域内部为$C^\infty$，通过一种局部化、迭代的正则性提升策略克服了非局部算子中全局依赖性的挑战。

ABSTRACT

We show that a certain class of fully nonlinear nonlocal equations have smooth solutions as long as the right-hand side is nice and the boundary datum is bounded. To this end we follow the classical strategy. We first show that solutions are $C^{σ+α}$ continuous, then develop a bootstrap argument robust enough for operators that may depend on the solution and its σ-derivatives.

研究动机与目标

• 建立证明非局部完全非线性椭圆方程光滑解的一般框架。
• 解决非局部算子中全局依赖性带来的挑战，该挑战阻碍了经典正则性方法的应用。
• 将逐次论证推广至系数依赖于解及其非局部导数的非局部方程。
• 证明右端项的光滑性与边界数据的有界性足以保证$C^\infty$内部正则性。
• 提供对线性和非线性算子的应用，包括基于非局部Hessian算子$D^\sigma_\rho u$特征值的算子。

提出的方法

• 引入通过权函数$\rho$和方向差分$\delta u(x,y)$定义的非局部Hessian算子$D^\sigma_\rho u$，推广了二阶Hessian算子。
• 通过摄动论证和比较原理，建立黏性解的$C^{\sigma+\alpha}$正则性估计。
• 发展一种局部化的逐次程序，通过对方程求导并应用Schauder型估计，迭代提升正则性。
• 使用截断函数技术对非局部算子进行局部化，控制边界效应，从而实现正则性的迭代提升。
• 将理论应用于方向导数，证明每个导数满足同类型方程，且系数为Hölder连续。
• 采用局部化-逐次迭代方法，将正则性从$C^{\sigma+\alpha}$逐步提升至$C^{2+\sigma+\alpha}$，依此类推，直至$C^\infty$。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管算子具有全局依赖性，是否能为广义非局部完全非线性椭圆方程建立光滑解？
• RQ2 在二阶PDE中使用的逐次方法是否可推广至解依赖系数的非局部方程？
• RQ3 当非局部算子全局依赖于解时，能否通过迭代方式提升解的正则性？
• RQ4 对右端项和边界数据的何种条件足以保证内部$C^\infty$正则性？
• RQ5 该理论是否可应用于基于非局部Hessian算子$D^\sigma_\rho u$特征值定义的算子？

主要发现

• 在$B_1$中，方程$F(D^\sigma_\rho u, x) = f(x)$的Dirichlet问题，若$f$光滑且$g$有界且一致连续，则在内部存在唯一光滑解。
• 即使算子全局依赖于$u$，仍通过迭代局部化-逐次论证证明了解在$B_1$中为$C^\infty$。
• $C^{\sigma+\alpha}$正则性估计作为基础步骤被确立，从而支持逐次过程的展开。
• 对于形如$\int \delta u(x,y) \frac{\langle A(x)y,y\rangle \rho(x,y)}{|y|^{n+\sigma+2}} dy = f(x)$的线性算子，在相同条件下存在光滑解。
• 该理论适用于基于$D^\sigma_\rho u$特征值的算子，如$F(M) = f(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，其中$f$光滑且严格凹。
• 即使对于正则性较低的算子，若$f$为$C^k$且$g$有界，且事先已知$u$的$C^k$先验有界性，则该方法可得到$C^{k-1+\sigma+\alpha}$正则性。