[论文解读] Smooth subsolutions of the discounted Hamilton-Jacobi equations

Huang, Xiyao, Liang Jin+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2020

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文在紧致黎曼流形上构造了折扣哈密顿-雅可比方程 $\lambda u + H(x, du) = 0$ 的 $C^{1,1}$ 下解，证明其在投影阿布里集上恰好为解。在额外的双曲性假设下，这些下解的光滑性得到提升，从而可识别共形辛流的全局吸引子，并控制拉克斯-奥莱尼克半群的收敛速度。

ABSTRACT

For the discounted Hamilton-Jacobi equation,$$λu+H(x,d_x u)=0, \ x \in M, $$we construct $C^{1,1}$ subsolutions which are indeed solutions on the projected Aubry set. The smoothness of such subsolutions can be improved under additional hyperbolicity assumptions. As applications, we can use such subsolutions to identify the maximal global attractor of the associated conformally symplectic flow and to control the convergent speed of the Lax-Oleinik semigroups

研究动机与目标

• 为折扣哈密顿-雅可比方程构造光滑下解，使其在投影阿布里集上为解。
• 在双曲性假设下提升这些下解的正则性。
• 应用所构造的下解识别共形辛流的最大全局吸引子。
• 利用下解控制拉克斯-奥莱尼克半群的收敛速度。

提出的方法

• 利用 $\lambda$-支配函数的变分原理，定义下解集合 $\mathcal{S}^{-}$。
• 通过 $\lambda$-支配函数的极限过程构造 $C^{1,1}$ 下解。
• 证明这些下解在投影阿布里集 $\mathcal{A}$ 上精确满足折扣HJ方程。
• 应用弱KAM解理论与全局极小化曲线理论，将下解与黏性解 $u^{-}$ 关联。
• 利用勒让德变换与托内利拉格朗日量 $L$，建立哈密顿量与变分形式之间的联系。
• 利用阿布里集在 $\lambda$ 与 $L$ 的扰动下的上半连续性，建立结果的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为折扣哈密顿-雅可比方程构造在投影阿布里集上为解的 $C^{1,1}$ 下解？
• RQ2 额外的双曲性假设如何改善此类下解的正则性？
• RQ3 这些下解能否用于识别共形辛流的最大全局吸引子？
• RQ4 黏性解 $u^{-}$ 在通过全局极小化曲线刻画阿布里集的过程中起什么作用？
• RQ5 拉克斯-奥莱尼克半群如何收敛？能否利用所构造的下解控制其收敛速度？

主要发现

• 折扣HJ方程的黏性解 $u^{-}$ 是 $\mathcal{S}^{-}$ 中所有 $C^{\infty}$ 下解的逐点上确界，建立了光滑下解与黏性解之间的对偶性。
• 所构造的 $C^{1,1}$ 下解在投影阿布里集 $\mathcal{A}$ 上精确满足折扣HJ方程，将下解理论与阿布里-梅泽结构联系起来。
• 在双曲性假设下，下解的正则性可提升至超过 $C^{1,1}$，暗示更强的结构控制能力。
• 阿布里集 $\widetilde{\mathcal{A}}$ 被表征为所有全局校准曲线的并集，且 $\mathcal{A} = \pi(\widetilde{\mathcal{A}})$ 是 $M$ 上的利普希茨图象，确认其内在正则性。
• 拉克斯-奥莱尼克半群 $\mathcal{T}^{-}_{t}$ 满足当 $t \to \infty$ 时收敛于 $u^{-}$，且收敛速度由 $F_{\gamma}(t) \to 0$ 控制，其中 $F_{\gamma}(t)$ 在 $t$ 足够大时有界于 $\epsilon$。
• 阿布里集关于 $\lambda$ 与 $L$ 在 $TM$ 上的豪斯多夫拓扑下是上半连续的，确保了不变集在扰动下的稳定性。