[论文解读] Smoothness and singularities of the perfect form and the second Voronoi compactification of ${\mathcal A}_g$

Mathieu Dutour Sikirić, Klaus Hulek+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文研究了主极化阿贝尔簇模空间的两个环面紧化：完美锥紧化 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}$ 与第二 Voronoi 紧化 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Vor}}$ 的奇点。通过在 $\operatorname{Sym}^2(\mathbb{Z}^g)$ 中对完美锥与多面体分解进行组合分析，作者证明了当 $g \geq 4$ 时，$\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}$ 的奇点集具有余维数 10；当 $g \geq 5$ 时，$\mathcal{A}_g^{\operatorname{Vor}}$ 的奇点集具有余维数 3，且在后一种情况下给出了非单体锥的显式例子。

ABSTRACT

We study the cones in the first Voronoi or perfect cone decomposition of quadratic forms with respect to the question which of these cones are basic or simplicial. As a consequence we deduce that the singular locus of the moduli stack ${\mathcal A_g^{\mathop{Perf}}}$, the toroidal compactification of the moduli space of principally polarized abelian varieties of dimension $g$ given by this decomposition, has codimension $10$ if $g \geq 4$. Moreover we describe the non-simplicial locus in codimension $10$. We also show that the second Voronoi compactification ${\mathcal A_{g}^{\mathop{Vor}}}$ has singularities in codimension $3$ for $g\geq 5$.

研究动机与目标

• 确定主极化阿贝尔簇模空间的完美锥紧化 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}$ 中奇点集的余维数。
• 分析 $\operatorname{Sym}^2(\mathbb{Z}^g)$ 中完美锥的几何与组合性质，特别是其单体性与基本性。
• 研究第二 Voronoi 紧化 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Vor}}$ 的奇点，重点关注其奇点集的余维数。
• 对 9 维完美锥进行分类，并检验完美锥在低维情形下是否总是单体且基本。
• 为 $g \geq 5$ 的情形提供第二 Voronoi 分解中非单体锥的显式例子。

提出的方法

• 通过 $\operatorname{GL}_g(\mathbb{Z})$-不变的 $\operatorname{Sym}^2(\mathbb{R}^g)$ 多面体分解，分析正定二次型的首级 Voronoi（完美锥）分解。
• 基于 [KMS] 算法，利用 $\operatorname{GL}_8(\mathbb{Z})$ 的单模等价性，对 9 维完美锥进行算法分类。
• 通过验证其 1-维面的整数生成元是否可扩展为 $\operatorname{Sym}^2(\mathbb{Z}^g)$ 的 $\mathbb{Z}$-基，来测试锥的基本性。
• 应用关于 $g \leq 5$ 时第二 Voronoi 分解的已知结果，并通过显式 Gram 矩阵将非单体锥推广至更高 $g$。
• 通过检查锥由多于其维数的极射线生成，利用显式 $5 \times 5$ Gram 矩阵验证非单体性。
• 借助电子数据库与计算工具如 [scc]，访问并验证小 $g$ 情形下的锥分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $g \geq 4$ 时，完美锥紧化 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}$ 中奇点集的余维数是多少？
• RQ2 所有维度满足 $g \leq 9$ 的完美锥是否都是单体且基本的？
• RQ3 当 $g \geq 5$ 时，第二 Voronoi 紧化 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Vor}}$ 中奇点集的余维数是多少？
• RQ4 能否在 $g \geq 5$ 的第二 Voronoi 分解中显式构造出非单体锥？
• RQ5 第二 Voronoi 分解中的所有锥的生成元是否都张成 $\operatorname{Sym}^2(\mathbb{Z}^g)$ 中指数为 1 的子格？

主要发现

• 当 $g \geq 4$ 时，完美锥紧化 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}$ 的奇点集具有余维数 10。
• 在余维数 10 处，$\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}$ 的非单体集通过 9 维完美锥的分类得到显式描述。
• 当 $g \geq 5$ 时，第二 Voronoi 紧化 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Vor}}$ 的奇点集具有余维数 3，这由存在 3 维、含 4 个生成元的非单体锥所证明。
• 当 $g \leq 9$ 时，所有完美锥均为单体且基本，尽管这对一般多面体锥不成立。
• 为 $g=5$ 的情形提供了第二 Voronoi 分解中非单体锥的显式例子，其 Gram 矩阵显示 4 个生成元张成一个 3 维锥。
• 本文未解决第二 Voronoi 分解中所有锥是否都具有 $\operatorname{Sym}^2(\mathbb{Z}^g)$ 中指数 1 子格的问题，尽管未发现指数大于 1 的例子。