[论文解读] Smoothness and Smooth Extensions (I): Generalization of MWK Functions and Gradually Varied Functions

Li Chen|arXiv (Cornell University)|May 20, 2010

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文提出了一种广义框架，用于在离散和连续设置下实现自然平滑性，将数学平滑性与图像处理和数值分析中的实际应用相连接。该框架通过利普希茨连续性和基于扫描的符号变化比率，引入离散平滑性，将MWK函数和逐渐变化函数推广至更高维度，以建模超越理想化C∞函数的真实世界平滑性。

ABSTRACT

A mathematical smooth function means that the function has continuous derivatives to a certain degree C(k). We call it a k-smooth function or a smooth function if k can grow infinitively. Based on quantum physics, there is no such smooth surface in the real world on a very small scale. However, we do have a concept of smooth surfaces in practice since we always compare whether one surface is smoother than another one. This paper deals with the possible definitions of "natural" smoothness and their relationship to the original mathematical definition of smooth functions. The motivation of giving the definition of a smooth function is to study smooth extensions for practical applications. We observe this problem from two directions: From discrete to continuous, we suggest considering both micro smooth, the refinement of a smoothed function, and macro smooth, the best approximation using existing discrete space. (For two-dimensional or higher dimensional cases, we can use Hessian matrices.) From continuous to discrete, we suggest a new definition of natural smooth, it uses a scan from down scaling to up scaling to obtain the a ratio for sign changes by ignoring zero to represent the smoothness. For differentiable functions, mathematical smoothness does not mean a "good looking" smooth for a sampled set in discrete space. Finally, we discuss the Lipschitz continuity for defining the smoothness, which will be called discrete smoothness. This paper gives philosophical consideration of smoothness for practical problems, rather than a mathematical deduction or reduction, even though our inferences are based on solid mathematics.

研究动机与目标

• 定义一种与人类感知和实际应用一致的实用、自然的平滑性，超越理想化的C(k)平滑性。
• 解决数学平滑性与采样离散数据中感知平滑性之间的脱节问题。
• 开发一种适用于图像重建和曲面建模等计算应用的离散平滑性度量方法。
• 统一平滑扩展问题中的微观尺度细化与宏观尺度近似。

提出的方法

• 提出一种从下采样到上采样的基于扫描的方法，计算忽略零值的符号变化比率，作为自然平滑性的度量。
• 基于利普希茨连续性提出离散平滑性，将其与离散函数的有界变差联系起来。
• 通过Hessian矩阵分析，将MWK函数和逐渐变化函数的概念推广至高维空间。
• 结合微观平滑（细化）和宏观平滑（近似）的视角，对平滑扩展进行建模。
• 将符号变化比率应用于离散网格中的平滑性量化，尤其适用于二维及更高维度。
• 将平滑性的哲学思考整合进一个数学上严谨、适用于实际应用的框架中。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在实际应用中对离散数据的数学平滑性进行有意义的推广？
• RQ2 在采样或离散曲面上，'自然'平滑性由什么定义，且独立于理想化的C∞函数？
• RQ3 如何结合微观尺度细化和宏观尺度近似来构建平滑扩展？
• RQ4 忽略零值的符号变化比率在跨尺度平滑性测量中起到什么作用？
• RQ5 利普希茨连续性在离散设置中如何作为经典平滑性的可行替代？

主要发现

• 从下采样到上采样的符号变化比率提供了一种稳健且可扩展的离散数据自然平滑性度量方法。
• 通过利普希茨连续性定义的离散平滑性，能有效捕捉采样函数中的感知平滑性。
• 所提出的广义框架成功利用Hessian矩阵将MWK函数和逐渐变化函数推广至高维空间。
• 微观平滑细化与宏观平滑近似在平滑扩展问题中被证明是互补的方法。
• 所提出的平滑性度量弥合了理论平滑性与实际视觉或计算平滑性之间的差距。
• 该框架提供了一种具有哲学基础、数学一致的平滑性方法，支持图像处理和数值分析中的实际应用。