[论文解读] Smoothness of Kuranishi atlases on Gromov-Witten moduli spaces

Robert Castellano|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文证明了 genus zero $J$-holomorphic curves 的 Gromov-Witten 模空间 admits 一个 $C^1$ 分层光滑（C^1 SS）Kuranishi 概形，从而使得任意虚拟维数下均可构造虚拟基本类。通过证明一个更强的 $C^1$ 拼接定理——表明拼接映射在拼接参数上是 $C^1$ 的——作者们解决了 McDuff 和 Wehrheim 的 Kuranishi 概形框架中一个关键的分析障碍，将该框架的应用范围从虚拟维数零扩展至任意虚拟维数。

ABSTRACT

Kuranishi atlases were introduced by McDuff and Wehrheim to build a virtual fundamental class on moduli spaces of J-holomorphic curves and resolve some of the challenges in this field. This paper considers Gromov-Witten moduli spaces and shows they admit a smooth enough Kuranishi atlas to be able to define a Gromov-Witten virtual fundamental class in any virtual dimension. The key step for this result is the proof of a stronger gluing theorem.

研究动机与目标

• 为解决 Gromov-Witten 模空间上 Kuranishi 概形缺乏光滑性的问题，此前仅能在虚拟维数零时构造虚拟基本类。
• 将 Kuranishi 概形框架扩展至允许在任意虚拟维数下构造虚拟基本类。
• 证明 genus zero Deligne-Mumford 空间 $\overline{\mathcal{M}}_{0,k}$ 具备与概形相容的 $C^1$ 分层光滑结构。
• 在 $J$-holomorphic 曲线模空间的背景下，证明更强的 $C^1$ 拼接定理。
• 使 genus zero Gromov-Witten 不变量在同调约束下满足 Kontsevich-Manin 公理成为可能。

提出的方法

• 通过使用 $\widetilde{\lambda} = \lambda |\lambda|^\varepsilon$ 重新参数化拼接变量，实现在 $\lambda = 0$ 处的 $C^1$ 可微性，其中 $\lambda$ 是复拼接参数。
• 用 $s^{1+\varepsilon}$ 替代标准拼接参数 $s = R^{-2/p}$，以确保导数有界且在原点处具有 $C^1$ 正则性。
• 在 Banach 空间设定下应用隐函数定理，对拼接映射进行仔细的导数估计和 $L^p$ 与 $W^{1,p}$ 空间中的范数界控制。
• 利用 $\overline{\mathcal{M}}_{0,k}$ 上的交比坐标定义 Deligne-Mumford 空间的 $C^1$ 光滑结构，使其与 Kuranishi 概形相容。
• 将拼接映射导数的 $W^{1,p}$ 范数控制在 $C_9 \frac{1}{R_0} \frac{1}{(\delta R_0)^{2/p}}$ 以内，证明当 $R_0 \to \infty$ 时该界一致衰减，从而确保 $C^1$ 正则性。
• 通过确保所有结构映射（包括到 $\overline{\mathcal{M}}_{0,k}^{\text{new}}$ 的遗忘映射）均为 $C^1$ 分层光滑，构建了 $\overline{\mathcal{M}}_{0,k}(A,J)$ 上的 $C^1$ SS Kuranishi 概形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在任意虚拟维数下，于 genus zero Gromov-Witten 模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{0,k}(A,J)$ 上构造出 $C^1$ 分层光滑 Kuranishi 概形？
• RQ2 尽管在 $\lambda = 0$ 处存在奇异性，Gromov-Witten 框架下的拼接映射是否关于拼接参数 $\lambda$ 是 $C^1$ 光滑的？
• RQ3 $\overline{\mathcal{M}}_{0,k}$ 是否具有与 Kuranishi 概形相容的 $C^1$ 分层光滑结构？
• RQ4 能否将 [MS12] 中的标准拼接定理强化，以确保拼接映射在拼接参数原点处具有 $C^1$ 可微性？
• RQ5 Kuranishi 概形框架能否被扩展以支持非零虚拟维数下的虚拟基本类？

主要发现

• genus zero Gromov-Witten 模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{0,k}(A,J)$ 具备一个定向的、$d$-维的、弱 $C^1$ SS Kuranishi 概形，其中 $d = 2n + 2c_1(A) + 2k - 6$，适用于任意虚拟维数。
• $\overline{\mathcal{M}}_{0,k}$ 具备一个与概形相容的 $C^1$ 分层光滑结构 $\overline{\mathcal{M}}_{0,k}^{\text{new}}$，确保遗忘映射 $U \to \overline{\mathcal{M}}_{0,k}^{\text{new}}$ 为 $C^1$ SS。
• 证明了一个新的 $C^1$ 拼接定理：拼接映射关于拼接参数 $\lambda$ 是 $C^1$ 的，其导数在 $R_0 \to \infty$ 时一致有界，从而解决了关键的分析障碍。
• 拼接映射导数的 $W^{1,p}$ 范数被控制在 $C_9 \frac{1}{R_0} \frac{1}{(\delta R_0)^{2/p}}$ 以内，当 $R_0 \to \infty$ 时该界衰减，确认了 $C^1$ 正则性。
• 通过 $\varepsilon > 0$ 的重参数化 $\widetilde{\lambda} = \lambda |\lambda|^\varepsilon$，确保了在 $\lambda = 0$ 处的 $C^1$ 可微性，即使原始映射仅在 $\lambda \neq 0$ 时光滑。
• 该构造使得在满足 Kontsevich-Manin 公理的同调约束下，可定义 genus zero Gromov-Witten 不变量，如后续工作 [Cas] 所示。