[论文解读] Smoothness of scale functions for spectrally negative Levy processes

Terence Chan, Andreas E. Kyprianou+1 more|ArXiv.org|Mar 8, 2009

Probability and Risk Models参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文建立了关于谱负Lévy过程的尺度函数平滑性的充分条件，涉及Lévy测度和高斯系数。通过利用点蚀理论、拉普拉斯变换和更新方程，证明了当Blumenthal-Getoor指数小于2，或Lévy测度具有足够规则的密度时，尺度函数 $ W^{(q)} $ 在 $ (0,∞) $ 上属于 $ C^k $（$ k=2,3,\dots $），从而扩展了关于可微性和更新函数平滑性的已知结果。

ABSTRACT

Scale functions play a central role in the fluctuation theory of spectrally negative Lévy processes and often appear in the context of martingale relations. These relations are often complicated to establish requiring excursion theory in favour of Itô calculus. The reason for the latter is that standard Itô calculus is only applicable to functions with a sufficient degree of smoothness and knowledge of the precise degree of smoothness of scale functions is seemingly incomplete. The aim of this article is to offer new results concerning properties of scale functions in relation to the smoothness of the underlying Lévy measure. We place particular emphasis on spectrally negative Lévy processes with a Gaussian component and processes of bounded variation. An additional motivation is the very intimate relation of scale functions to renewal functions of subordinators. The results obtained for scale functions have direct implications offering new results concerning the smoothness of such renewal functions for which there seems to be very little existing literature on this topic.

研究动机与目标

• 研究谱负Lévy过程的尺度函数 $ W^{(q)} $ 的平滑性特征，超越已知的 $ C^1 $ 情况。
• 确定Lévy测度 $ \Pi $ 和高斯系数 $ \sigma^2 $ 的精确条件，以确保 $ W^{(q)} \in C^k(0,\infty) $ 对于 $ k \geq 2 $。
• 通过尺度函数与此类更新函数之间的紧密联系，扩展关于子ordinator更新函数平滑性的结果。
• 利用点蚀理论和拉普拉斯变换，提供一个严格的分析框架，以确立尺度函数的高阶可微性。

提出的方法

• 使用点蚀理论表示式 $ W(x) = W(a) \exp\left(-\int_x^a n(\overline{\epsilon} > t) dt\right) $ 来分析 $ W $ 的导数结构。
• 通过 $ W'(x\pm) = n(\overline{\epsilon} \geq x)W(x) $ 和 $ W'(x\pm) = n(\overline{\epsilon} > x)W(x) $ 分别推导左导数和右导数的表达式。
• 应用测度变换 $ dP_x^{\Phi(q)}/dP_x|_{\mathcal{F}_t} = e^{\Phi(q)(X_t - x) - qt} $，将 $ W^{(q)} $ 与变换后过程的尺度函数联系起来。
• 将尺度函数转化为更新方程 $ f = 1 + f * g $，其中 $ f = W^{(q)} $，$ g $ 依赖于Lévy测度的尾部。
• 应用定理7（Kyprianou和Zhou，2009年）通过验证 $ g' $ 和 $ g'' $ 的衰减条件来确立 $ C^k $ 平滑性，具体为 $ |g'(x)| \leq C(a)x^{-\alpha} $ 和 $ |g''(x)| \leq C(a)x^{-\alpha-1} $，其中 $ \alpha < 1 $。
• 分析Blumenthal-Getoor指数 $ \vartheta \in (1,2) $ 以界定 $ \overline{\Pi}(x) $ 和 $ \overline{\overline{\Pi}}(x) $，从而导出平滑性的可积性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Lévy测度 $ \Pi $ 和高斯系数 $ \sigma^2 $ 满足何种条件下，尺度函数 $ W^{(q)} $ 在 $ (0,\infty) $ 上是二阶连续可微的？
• RQ2 Lévy测度的Blumenthal-Getoor指数 $ \vartheta $ 如何影响 $ W^{(q)} $ 的平滑性，特别是当 $ k \geq 2 $ 时？
• RQ3 尺度函数 $ W^{(q)} $ 的平滑性与关联子ordinator的更新函数平滑性之间存在何种精确关系？
• RQ4 是否可以通过更新方程框架确立 $ W^{(q)} $ 的 $ C^k $ 正则性？对核函数 $ g $ 所需的衰减条件是什么？
• RQ5 假设 $ \psi'(0+) \geq 0 $ 如何简化分析，并使得 $ W(x) $ 的级数表示得以应用？

主要发现

• 若Lévy测度 $ \Pi $ 满足 $ \int_{-1}^0 |x|^\vartheta \Pi(dx) < \infty $，其中 $ \vartheta \in (1,2) $，则尺度函数 $ W^{(q)} $ 在 $ (0,\infty) $ 上属于 $ C^2 $，从而确保更新方程中 $ g' $ 和 $ g'' $ 所需的衰减性。
• 对于 $ k \geq 3 $，若Lévy测度具有密度 $ \pi(x) $，使得 $ \pi(x) \leq C x^{-\vartheta} $，其中 $ \vartheta \in (1,2) $，则 $ |g''(x)| \leq C(a)x^{-\vartheta} $ 且 $ \vartheta < 2 $，满足定理7的条件。
• 当 $ n(\overline{\epsilon} \geq x, \epsilon_{\sigma_x} = x) $ 连续时，$ W''(x) $ 在 $ (0,\infty) $ 上处处存在且连续，这由右侧表达式（涉及 $ W'(x)/W(x) $ 和含 $ \overline{\Pi}(y) $ 的积分项）推出。
• 当 $ \psi'(0+) \geq 0 $ 时，尺度函数具有级数表示 $ W(x) = \frac{1}{c} \sum_{n \geq 0} g^{*n}(x) $，其中 $ g(x) = \frac{1}{c} \int_0^x \overline{\Pi}(y) dy $，从而使得更新方程技术可用于高阶平滑性分析。
• 与子ordinator相关的更新函数的平滑性可直接由 $ W^{(q)} $ 的平滑性推出，为此前文献较少的领域提供了新结果。
• 证明 $ C^k $ 平滑性依赖于对 $ |g'(x)| \leq C(a)x^{-\alpha} $ 和 $ |g''(x)| \leq C(a)x^{-\alpha-1} $ 的有界性，其中 $ \alpha < 1 $，当Lévy测度的尾部 $ \overline{\Pi}(x) $ 以 $ x^{-\vartheta} $ 的形式衰减，且 $ \vartheta \in (1,2) $ 时可实现。