[论文解读] Snowflake universality of Wasserstein spaces

Alexandr Andoni, Assaf Naor+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 67被引用 5

一句话总结

本文证明了在 $\mathbb{R}^3$ 上的 Wasserstein $p$-空间，记为 $\mathscr{P}_p(\mathbb{R}^3)$，对于指数 $\theta = 1/p$ 具有雪flake普遍性，这意味着每个有限度量空间的 $\theta$-雪flake均可以任意低的失真嵌入其中。对于 $p \in (1,2]$，该结果是紧的，因为更高的雪flake指数会导致失真以 $\log n$ 的幂次增长，从而解决了关于嵌入到 Alexandrov 空间以及 Wasserstein 空间的普遍性方面的关键问题。

ABSTRACT

For $p\in (1,\infty)$ let $\mathscr{P}_p(\mathbb{R}^3)$ denote the metric space of all $p$-integrable Borel probability measures on $\mathbb{R}^3$, equipped with the Wasserstein $p$ metric $\mathsf{W}_p$. We prove that for every $\varepsilon>0$, every $θ\in (0,1/p]$ and every finite metric space $(X,d_X)$, the metric space $(X,d_{X}^θ)$ embeds into $\mathscr{P}_p(\mathbb{R}^3)$ with distortion at most $1+\varepsilon$. We show that this is sharp when $p\in (1,2]$ in the sense that the exponent $1/p$ cannot be replaced by any larger number. In fact, for arbitrarily large $n\in \mathbb{N}$ there exists an $n$-point metric space $(X_n,d_n)$ such that for every $α\in (1/p,1]$ any embedding of the metric space $(X_n,d_n^α)$ into $\mathscr{P}_p(\mathbb{R}^3)$ incurs distortion that is at least a constant multiple of $(\log n)^{α-1/p}$. These statements establish that there exists an Alexandrov space of nonnegative curvature, namely $\mathscr{P}_{\! 2}(\mathbb{R}^3)$, with respect to which there does not exist a sequence of bounded degree expander graphs. It also follows that $\mathscr{P}_{\! 2}(\mathbb{R}^3)$ does not admit a uniform, coarse, or quasisymmetric embedding into any Banach space of nontrivial type. Links to several longstanding open questions in metric geometry are discussed, including the characterization of subsets of Alexandrov spaces, existence of expanders, the universality problem for $\mathscr{P}_{\! 2}(\mathbb{R}^k)$, and the metric cotype dichotomy problem.

研究动机与目标

• 建立 $\mathbb{R}^3$ 上 Wasserstein $p$-空间在指数 $\theta = 1/p$ 下的雪flake普遍性。
• 确定嵌入到 $\mathscr{P}_p(\mathbb{R}^3)$ 的雪flake嵌入失真的紧阈值，特别是针对 $p \in (1,2]$ 的情况。
• 解决度量几何中的长期开放问题，包括 $\mathscr{P}_2(\mathbb{R}^3)$ 对有界度数膨胀图的非普遍性，以及度量类型二分问题。
• 研究 $\mathscr{P}_p(\mathbb{R}^3)$ 到具有非平凡类型的 Banach 空间的粗嵌入和拟对称嵌入的极限。

提出的方法

• 证明对于任意有限度量空间 $(X,d_X)$，其 $1/p$-雪flake $(X,d_X^{1/p})$ 可以以任意接近 1 的失真嵌入 $\mathscr{P}_p(\mathbb{R}^3)$。
• 基于最优传输和耦合测度的构造，通过受控失真的前推测度实现雪flake度量的嵌入。
• 使用谱间隙和 Poincaré 不等式技术，建立对雪flake指数 $\alpha > 1/p$ 的失真下界。
• 构造显式的 $n$-点度量空间 $(X_n,d_n)$，使得将 $(X_n,d_n^\alpha)$ 嵌入 $\mathscr{P}_p(\mathbb{R}^3)$ 时失真至少为 $c \cdot (\log n)^{\alpha - 1/p}$（当 $p \in (1,2]$ 时），以及 $c \cdot (\log n)^{\alpha + 1/p - 1}$（当 $p > 2$ 时）。
• 应用谱图论，特别是正则图的第二特征值 $\lambda_2(G)$，通过 Poincaré 不等式推导失真下界。
• 使用图 $G$ 的细分构造 $\Sigma_k(G)$，生成高失真度量空间，并将其失真与 $\mathscr{P}_p(\mathbb{R}^3)$ 的几何结构关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个满足 $\theta \leq 1/p$ 的有限度量空间的 $\theta$-雪flake 均可嵌入 $\mathscr{P}_p(\mathbb{R}^3)$，且失真任意接近 1？
• RQ2 指数 $1/p$ 是否是 $\mathscr{P}_p(\mathbb{R}^3)$ 中雪flake普遍性的紧值？对于 $p > 2$ 是否可进一步改进？
• RQ3 $\mathscr{P}_2(\mathbb{R}^3)$ 是否可均匀、粗略或拟对称地嵌入到任意具有非平凡类型的 Banach 空间中？
• RQ4 $\mathscr{P}_p(\mathbb{R}^3)$ 是否可包含一个有界度数膨胀图序列（当 $n \to \infty$ 时）？
• RQ5 当 $k \asymp \log n$ 且 $\lambda_2(G) \leq 99/100$ 时，$\mathscr{P}_2(\mathbb{R}^3)$ 中 $\ Sigma_k(G)$ 的失真 asymptotic 增长率是多少？

主要发现

• 对于任意 $\varepsilon > 0$，任意有限度量空间 $(X,d_X)$，以及任意 $\theta \in (0,1/p]$，$\theta$-雪flake $(X,d_X^\theta)$ 均可嵌入 $\mathscr{P}_p(\mathbb{R}^3)$，且失真不超过 $1 + \varepsilon$，从而证明了在指数 $1/p$ 下的雪flake普遍性。
• 对于 $p \in (1,2]$，指数 $1/p$ 是紧的：对于任意 $\alpha > 1/p$，存在一列 $n$-点度量空间，使得将 $(X_n,d_n^\alpha)$ 嵌入 $\mathscr{P}_p(\mathbb{R}^3)$ 时失真至少为 $c \cdot (\log n)^{\alpha - 1/p}$，其中 $c > 0$ 为绝对常数。
• 对于 $p > 2$，失真下界为 $c \cdot (\log n)^{\alpha + 1/p - 1}$，表明其与 $p \leq 2$ 的情形具有不同的标度，尽管作者推测对于 $p > 2$，更紧的界应为 $c_p \cdot (\log n)^{\alpha - 1/2}$。
• 该结果意味着 $\mathscr{P}_2(\mathbb{R}^3)$ 无法均匀、粗略或拟对称地嵌入到任何具有非平凡类型的 Banach 空间中，从而解决了长期悬而未决的开放问题。
• 由此可得 $\mathscr{P}_2(\mathbb{R}^3)$ 不包含有界度数膨胀图序列，因为此类图会与推导出的失真界矛盾。
• 本文为 $\mathscr{P}_p(\mathbb{R}^3)$ 中 $\Sigma_k(G)$ 的失真提供了新的下界，表明 $c_{\mathscr{P}_p(\mathbb{R}^3)}(\Sigma_k(G)) \gtrsim \min\left\{ \sqrt{\frac{k \log n}{\log d}}, \sqrt{1 - \lambda_2(G)} \cdot \frac{\log n}{\log d} \right\}$，且当 $d=3$、$\lambda_2(G) \leq 99/100$ 且 $k \asymp \log n$ 时该界是紧的。