[论文解读] Sobolev and BV spaces on metric measure spaces via derivations and integration by parts

Simone Di Marino|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用 12

一句话总结

本文通過使用 Weaver 的度量導數進行分部積分，建立了一種度量測度空間上 Sobolev 和 BV 空間的新表徵，證明其與所有主要現有定義等價。本文引入基於導數的弱梯度，並證明不同表述下變分總變動量 |Df| 相互一致，從而統一理論，且無需假設加倍或 Poincaré 條件。

ABSTRACT

We develop a theory of BV and Sobolev Spaces via integration by parts formula in abstract metric spaces; the role of vector fields is played by Weaver's metric derivations. The definition hereby given is shown to be equivalent to many others present in literature.

研究动机与目标

• 發展一般度量測度空間上 Sobolev 與 BV 空間的理論，使用導數的分部積分，避免依賴上梯度。
• 透過對偶性與分部積分，彙整古典 Sobolev 理論與現代度量空間分析之間的差距，以恢復弱梯度。
• 證明所提出的基於導數的 Sobolev 與 BV 空間定義與所有主要現有形式等價，包括基於上梯度、放鬆斜率與路徑基礎定義的形式。
• 建立不同定義下總變動量 |Df| 的等價性，包括 BV*、w-BV 與基於導數的 BV 空間。
• 證明理論在完整、分離的度量測度空間中成立，且無需假設加倍或 Poincaré 條件。

提出的方法

• 本文定義函數 f ∈ L^p 属於 W^{1,p}，若存在定義在導數上的線性泛函 L_f，使得對所有滿足 |b|, div b ∈ L^q 的導數 b，有 ∫ f · div b d𝔪 = -∫ L_f(b) d𝔪。
• 引入微分 df: Der^{q,q} → L^1，從而定義逐點梯度 |∇f|，使其滿足 |df(b)| ≤ |∇f| · |b| 几乎處處成立。
• 理論使用 Weaver 的導數作為向量場的推廣，利用其萊布尼茨法則與弱局部性來定義弱微分。
• 透過對偶性與逼近，證明基於導數的 Sobolev 空間與透過 q-放鬆斜率與最小 q-上梯度的標準定義等價。
• 對於 BV 空間，本文透過對偶性 ∫ f · div b d𝔪 ≤ ∫ |b|^* d|Df| 對所有 b ∈ Der_L 定義 |Df|，並證明此測度與 BV* 與 w-BV 空間中的總變動量一致。
• 等價性證明依賴於 ∞-路徑（曲線上的測度）與導數之間的對應關係，並利用了利普希茨函數沿曲線具有明確定義的導數的事實。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在度量測度空間上透過使用導數的分部積分公式定義 Sobolev 空間，而非依賴上梯度或放鬆斜率？
• RQ2 基於導數的弱梯度定義是否與 ℝ^n 中經典梯度概念及度量測度空間中其他現代定義等價？
• RQ3 透過導數分部積分定義的總變動量測度 |Df| 是否與 BV* 與 w-BV 空間中的總變動量一致？
• RQ4 能否利用導數框架恢復並推廣 BV* 與 w-BV 空間之間的等價性？
• RQ5 ∞-路徑與基於曲線的導數在連接基於導數的 BV 空間與基於路徑的 BV 定義中扮演何種角色？

主要发现

• 本文證明，即使在不假設加倍或 Poincaré 條件下，基於導數的 W^{1,p} 定義仍與透過最小 q-上梯度與放鬆斜率的標準定義等價。
• 定義在導數上的微分 df 所產生的逐點梯度 |∇f| 滿足 |df(b)| ≤ |∇f| · |b| 几乎處處成立，且此 |∇f| 與文獻中已知的最小弱上梯度一致。
• 透過導數分部積分定義的總變動量測度 |Df| 滿足 |Df| ≤ |Df|_* 與 |Df|(X) ≥ |Df|_w(X)，且三者在所有定義下均相等。
• 對所有 f ∈ BV，已確立 |Df| = |Df|_* = |Df|_w，證明基於導數的 BV 空間與 BV* 及 w-BV 空間一致。
• 該理論統一了度量測度空間中 Sobolev 與 BV 空間的多種方法，透過導數與分部積分提供了一個共同基礎。