[论文解读] Sobolev Duals for Random Frames and Sigma-Delta Quantization of Compressed Sensing Measurements

C. Si̇nan Güntürk, Alexander M. Powell+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2010

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 26被引用 33

一句话总结

本文提出使用Sobolev对偶框架从r阶Sigma-Delta量化压缩感知测量中恢复信号，当测量矩阵为高概率下的随机高斯矩阵且在满足温和支撑约束的k-稀疏信号上实现统一恢复时，误差显著降低，降低因子为$(m/k)^{(r-1/2)\beta}$，其中$0 < \beta < 1$。

ABSTRACT

Quantization of compressed sensing measurements is typically justified by the robust recovery results of Candes, Romberg and Tao, and of Donoho. These results guarantee that if a uniform quantizer of step size $\delta$ is used to quantize $m$ measurements $y = \Phi x$ of a $k$-sparse signal $x \in \R^N$, where $\Phi$ satisfies the restricted isometry property, then the approximate recovery $x^#$ via $\ell_1$-minimization is within $O(\delta)$ of $x$. The simplest and commonly assumed approach is to quantize each measurement independently. In this paper, we show that if instead an $r$th order $\Sigma\Delta$ quantization scheme with the same output alphabet is used to quantize $y$, then there is an alternative recovery method via Sobolev dual frames which guarantees a reduction of the approximation error by a factor of $(m/k)^{(r-1/2)\alpha}$ for any $0 < \alpha < 1$, if $m \gtrsim_r k (\log N)^{1/(1-\alpha)}$. The result holds with high probability on the initial draw of the measurement matrix $\Phi$ from the Gaussian distribution, and uniformly for all $k$-sparse signals $x$ that satisfy a mild size condition on their supports.

研究动机与目标

• 为了在均匀量化之外提升压缩感知信号恢复的精度。
• 为了分析在压缩感知背景下，将r阶Sigma-Delta量化与Sobolev对偶框架结合时的性能。
• 为了在支撑大小满足温和条件的情况下，为所有$k$-稀疏信号建立统一恢复保证。
• 为了量化通过高阶Sigma-Delta方案相比标准均匀量化所能实现的误差降低增益。

提出的方法

• 该方法采用固定输出字母表的r阶Sigma-Delta量化，对$k$-稀疏信号$x \in \mathbb{R}^N$的$m$个测量值$y = \Phi x$进行量化。
• 提出使用Sobolev对偶框架作为替代方案，取代标准的$\ell_1$-最小化以实现重建。
• 在测量矩阵$\Phi$服从高斯分布并以高概率满足限制等距性假设的前提下，分析恢复误差。
• 通过概率方法推导理论界，表明当$m \gtrsim_r k (\log N)^{1/(1-\alpha)}$时，误差以$(m/k)^{(r-1/2)\alpha}$的速率衰减，其中任意$0 < \alpha < 1$。
• 分析确保在支撑满足温和大小条件的所有$k$-稀疏信号上实现统一恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 结合高阶Sigma-Delta量化与Sobolev对偶框架是否能将压缩感知中的重建误差降低至超过均匀量化所能达到的水平？
• RQ2 与标准$\ell_1$-最小化相比，使用r阶Sigma-Delta量化与Sobolev对偶框架在误差降低方面具有多大的定量增益？
• RQ3 误差标度如何依赖于测量数$m$、稀疏度$k$和量化阶数$r$？
• RQ4 在何种$m$与$N$条件下，对于随机高斯矩阵，改进的误差标度能以高概率成立？

主要发现

• 与标准均匀量化相比，使用r阶Sigma-Delta量化与Sobolev对偶框架可将重建误差降低$(m/k)^{(r-1/2)\alpha}$倍，其中任意$0 < \alpha < 1$。
• 当测量矩阵$\Phi$从高斯分布中抽取且满足$m \gtrsim_r k (\log N)^{1/(1-\alpha)}$时，该误差降低以高概率实现。
• 对于支撑满足温和大小条件的所有$k$-稀疏信号，恢复具有统一有效性。
• 与标准$\ell_1$-最小化相比，该方法在误差衰减速率上实现了显著改进，尤其当$r$增大时更为明显。
• 在所述条件下，理论界对所有$k$-稀疏信号一致成立，确保了鲁棒性。