[论文解读] Sobolev regularity for Symmetric-Convex Functionals

Franz Gmeineder, Jan Kristensen|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 3

一句话总结

本文建立了依赖于对称梯度而非完整梯度的自治、凸变分积分在线性增长下极小化元的Sobolev正则性。通过将BV设定下的结果进行推广，证明了即使在完整梯度并非先验地为Radon测度的情况下，极小化元仍具有更高的可积性和可微性。

ABSTRACT

We study Sobolev regularity results for minimisers of autonomous, convex variational of linear growth which depend on the symmetric gradient rather than the full gradient. This extends the results available in the literature for the BV-setting to the case of functionals whose full gradients are a priori not known to exist as matrix-valued Radon measures.

研究动机与目标

• 将Sobolev正则性理论推广至依赖于对称梯度而非完整梯度的变分积分。
• 解决此类泛函中完整梯度是否为矩阵值Radon测度的先验知识缺乏的问题。
• 在线性增长、凸、自治泛函的背景下，建立极小化元的更高可积性和可微性性质。
• 将现有的BV正则性结果推广至完整梯度并非已知为测度的设定。

提出的方法

• 利用自治、凸泛函在线性增长下的结构，通过依赖于对称梯度来分析极小化元。
• 应用变分法与几何测度论的技术来处理非光滑梯度。
• 采用爆破法及其爆破极限，研究极小化元在Lebesgue点处的正则性。
• 利用被积函数的凸性和对称性，推导对称梯度的统一估计。
• 依赖于在有界变差函数的背景下，对称梯度几乎处处控制完整梯度的性质。
• 利用泛函的结构推断出：即使先验地缺乏完整梯度的正则性，极小化元仍满足更高可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为仅依赖于对称梯度的凸、自治、线性增长泛函的极小化元建立Sobolev正则性？
• RQ2 当完整梯度并非先验地为Radon测度时，此类极小化元的正则性性质如何显现？
• RQ3 与完整梯度情形相比，对称梯度结构如何影响极小化元的可积性和可微性？
• RQ4 BV正则性结果在多大程度上可推广至具有线性增长和对称梯度依赖的泛函？
• RQ5 在此类设定下，极小化元更高可积性的必要与充分条件是什么？

主要发现

• 依赖于对称梯度的线性增长、凸泛函的极小化元即使在完整梯度并非先验地为Radon测度时，也表现出更高的可积性。
• 对称梯度结构使得能够推导出统一估计，从而蕴含极小化元的Sobolev正则性。
• 对对称梯度应用爆破法可获得在Lebesgue点处的正则性，证实了一种弱可微性形式。
• 该结果将经典BV正则性理论推广至完整梯度信息不可用的更广泛泛函类。
• 泛函的凸性和自治性在获得对称梯度的统一控制中至关重要。
• 本文证明了极小化元属于具有改进可积性的Sobolev空间，尽管其完整梯度正则性在先验条件下并不存在。