[论文解读] Sobolev spaces on Lie manifolds and regularity for polyhedral domains

Bernd Ammann, Alexandru D. Ionescu+1 more|ArXiv.org|Feb 19, 2004

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 61被引用 27

一句话总结

本论文通过加权Sobolev空间𝒦ᵐₐ(ℙ)在ℝ³中的多面体区域上建立了强椭圆系统的一般正则性理论，表明当系数光滑时不会出现正则性损失。通过将这些空间与通过奇异边界点（边）共形爆破得到的李流形上的Sobolev空间相联系，作者利用紧化流形上伪微分算子理论，将经典椭圆正则性理论推广至非光滑区域。

ABSTRACT

We study some basic analytic questions related to differential operators on Lie manifolds, which are manifolds whose large scale geometry can be described by a a Lie algebra of vector fields on a compactification. We extend to Lie manifolds several classical results on Sobolev spaces, elliptic regularity, and mapping properties of pseudodifferential operators. A tubular neighborhood theorem for Lie submanifolds allows us also to extend to regular open subsets of Lie manifolds the classical results on traces of functions in suitable Sobolev spaces. Our main application is a regularity result on polyhedral domains $\PP \subset \RR^3$ using the weighted Sobolev spaces $\Kond{m}a(\PP)$. In particular, we show that there is no loss of $\Kond{m}a$--regularity for solutions of strongly elliptic systems with smooth coefficients. For the proof, we identify $\Kond{m}a(\PP)$ with the Sobolev spaces on $\PP$ associated to the metric $r_{\PP}^{-2} g_E$, where $g_E$ is the Euclidean metric and $r_{\PP}(x)$ is a smoothing of the Euclidean distance from $x$ to the set of singular points of $\PP$. A suitable compactification of the interior of $\PP$ then becomes a regular open subset of a Lie manifold. We also obtain the well-posedness of a non-standard boundary value problem on a smooth, bounded domain with boundary $\maO \subset \RR^n$ using weighted Sobolev spaces, where the weight is the distance to the boundary.

研究动机与目标

• 解决在非光滑区域（特别是ℝ³中的多面体区域）上椭圆PDE的正则性损失问题。
• 将经典的Sobolev空间理论与椭圆正则性推广至具有边界的李流形。
• 通过几何紧化方法，为多面体区域上的加权Sobolev空间𝒦ᵐₐ(ℙ)建立框架。
• 证明当系数光滑时，多面体区域ℙ上强椭圆系统的解在𝒦ᵐₐ(ℙ)中保持完整正则性。
• 将伪微分算子的迹定理与映射性质推广至李流形的正则开子集。

提出的方法

• 通过将多面体区域ℙ的内部紧化，用r_ℙ⁻²g_E替代欧氏度量g_E，其中r_ℙ是到奇异边界点（边）距离的光滑化，从而得到一个非紧的李流形。
• 将加权Sobolev空间𝒦ᵐₐ(ℙ)与配备爆破后度量的该李流形上的标准Sobolev空间相等同。
• 利用李子流形的管状邻域定理，将迹定理与正则性结果推广至李流形的正则开子集。
• 应用李流形上的伪微分算子理论，特别是算子代数Ψ_{1,0,𝒱}^m(M₀)，分析映射性质与正则性。
• 构造拟逆元，并利用伪微分算子在加权Sobolev空间上的有界性，证明正则性传递。
• 利用对偶性与Hahn-Banach定理刻画对偶空间，并证明李流形上Sobolev空间中范数的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典椭圆正则性结果能否推广至三维空间中具有边与角的多面体区域？
• RQ2 是否存在一种几何框架，可消除在非光滑区域Sobolev空间中的正则性损失？
• RQ3 如何将加权Sobolev空间𝒦ᵐₐ(ℙ)表征为通过几何紧化得到的李流形上的标准Sobolev空间？
• RQ4 李流形结构在实现具有奇异边界区域上微分算子正则性理论中起什么作用？
• RQ5 伪微分算子技术能否适配具有边界的李流形，以证明正则性与迹定理？

主要发现

• 对于ℝ³中多面体区域ℙ⊂ℝ³上的强椭圆系统，若系数光滑，则解在𝒦ᵐₐ-正则性上无损失。
• 加权Sobolev空间𝒦ᵐₐ(ℙ)同构于通过度量r_ℙ⁻²g_E对奇异集（边）进行共形爆破后得到的李流形上的标准Sobolev空间。
• 空间𝒦ᵐₐ(ℙ)等价于非紧李流形(M₀, r_ℙ⁻²g_E)上的Sobolev空间W^{m,p}，其中r_ℙ为到奇异边界点距离的光滑化。
• 属于类Ψ_{1,0,𝒱}^m(M₀)的伪微分算子在加权Sobolev空间之间有界作用，从而支持正则性传递的证明。
• 对于任意椭圆算子P∈Ψ_{1,0,𝒱}^s(M₀)，范数‖u‖_{L^p} + ‖Pu‖_{L^p}与李流形上的标准W^{s,p}范数等价。
• 在光滑有界区域上，通过使用等于到边界距离的权重，非标准边值问题在加权Sobolev空间中适定。