[论文解读] Social choice, computational complexity, Gaussian geometry, and Boolean functions

Ryan O’Donnell|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 69被引用 5

一句话总结

本文通过一种新颖的约化技术，将社会选择理论、计算复杂性、高斯几何与布尔函数分析统一起来，揭示了多数稳定定理与博雷尔等周不等式之间的深层联系。研究证明，Sum-of-Squares（SOS）证明系统能够为Khot–Vishnoi图认证最优的Max-Cut界，从而挑战了唯一性游戏与<em>P≠NP</em>预测，并凸显了De–Mossel–Neeman证明技术在连接离散与连续等周不等式方面的强大能力。

ABSTRACT

We describe a web of connections between the following topics: the mathematical theory of voting and social choice; the computational complexity of the Maximum Cut problem; the Gaussian Isoperimetric Inequality and Borell's generalization thereof; the Hypercontractive Inequality of Bonami; and, the analysis of Boolean functions. A major theme is the technique of reducing inequalities about Gaussian functions to inequalities about Boolean functions f : {-1,1}^n -> {-1,1}, and then using induction on n to further reduce to inequalities about functions f : {-1,1} -> {-1,1}. We especially highlight De, Mossel, and Neeman's recent use of this technique to prove the Majority Is Stablest Theorem and Borell's Isoperimetric Inequality simultaneously.

研究动机与目标

• 通过布尔函数技术统一分析投票规则、计算复杂性与几何等周性。
• 证明多数稳定定理与博雷尔等周不等式可通过一种从离散到连续的约化方法同时成立。
• 研究Sum-of-Squares（SOS）证明系统是否能为Khot–Vishnoi图认证最优的Max-Cut界，从而挑战唯一性游戏<em>P≠NP</em>预测。
• 评估证明系统在认证最优CSP界方面的极限，特别是在难解实例的概率构造背景下。

提出的方法

• 通过连续到离散的约化，将关于高斯函数的不等式转化为关于布尔函数 $f: \{-1,1\}^n \to \{-1,1\}$ 的等价不等式。
• 通过归纳法对 $n$ 进行约化，将复杂的 $n$ 变量不等式简化为在 $\{-1,1\}$ 上的一元不等式。
• 使用噪声稳定性算子 $\mathbf{Stab}_\rho[f] = \mathbb{E}[f(\mathbf{x})f(\mathbf{y})]$ 对 $\rho$-相关输入建模社会选择中的计票错误。
• 应用不变性原理与傅里叶分析，将离散布尔函数与连续高斯函数联系起来。
• 利用De–Mossel–Neeman对多数稳定定理的证明，表明SOS证明可认证Khot–Vishnoi图的 $\mathrm{Opt}(G) \leq \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\theta + o(1)$。
• 在SOS证明系统中将Max-Cut上界表示为多项式恒等式：$\beta - \mathrm{avg}(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}X_vX_w) = \sum P_i^2$，模 $X_v^2 = 1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过从高斯函数到布尔函数的统一约化，同时证明多数稳定定理与博雷尔等周不等式？
• RQ2 Sum-of-Squares（SOS）证明系统在多大程度上能为Khot–Vishnoi图认证最优的Max-Cut界？
• RQ3 是否存在无限多组Max-Cut实例，使得 $\mathrm{Opt}(G) \leq \frac{\theta}{\pi}$，但SOS系统无法认证优于 $\mathrm{Opt}(G) \leq \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\theta$ 的界？
• RQ4 概率构造能否产生满足 $\mathrm{Opt}(G) \leq \frac{\theta}{\pi}$ 但不存在长度多项式有界证明 $\mathrm{Opt}(G) \leq \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\theta$ 的Max-Cut实例？

主要发现

• De–Mossel–Neeman对多数稳定定理的证明使得SOS证明系统能够为Khot–Vishnoi Max-Cut图认证 $\mathrm{Opt}(G) \leq \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\theta + o(1)$。
• 该结果挑战了唯一性游戏<em>P≠NP</em>预测，表明即使像SOS这样强大的证明系统也能达到猜想的界。
• 通过对 $n$ 的归纳，从高斯函数到布尔函数的约化方法，使得离散与连续设定下的等周不等式得以统一处理。
• 噪声稳定性 $\mathbf{Stab}_\rho[f]$ 衡量了投票规则在计票错误下的鲁棒性，数值越高表示对噪声的抵抗能力越强。
• Khot–Vishnoi图满足 $\mathrm{SDPOpt}(G) \geq \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\theta$ 且 $\mathrm{Opt}(G) \leq \frac{\theta}{\pi} + o(1)$，使其成为更强SDP层级的反例关键实例。
• 若存在满足 $\mathrm{Opt}(G) \leq \frac{\theta}{\pi}$ 但无短证明可认证 $\mathrm{Opt}(G) \leq \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\theta$ 的图，则将为 $\text{coNP} \neq \text{NP}$ 预测提供强有力证据。