[论文解读] Sofic groups and profinite topology on free groups

Lev Glebsky, Luis Manuel Rivera Martinez|ArXiv.org|Sep 1, 2007

Geometric and Algebraic Topology被引用 3

一句话总结

本文引入了弱软群（w-sofic groups）作为软群的推广，其定义基于有限群上的双不变度量，而非对称群上的汉明度量。关键贡献在于建立非w-sofic群的存在性与受限拓扑性质之间的等价关系：自由群中陪集乘积的闭包不包含于其生成的正规子群中。这将群论、受限拓扑与软群猜想的更广泛问题联系起来。

ABSTRACT

We give a definition of weakly sofic groups (w-sofic groups). Our definition is rather natural extension of the definition of sofic groups where instead of Hamming metric on symmetric groups we use general bi-invariant metrics on finite groups. The existence of non w-sofic groups is equivalent to some conjecture about profinite topology on free groups.

研究动机与目标

• 通过有限群上的任意双不变度量而非对称群上的汉明度量，定义并研究弱软群（w-sofic groups），作为软群的推广。
• 研究w-sofic群与有限生成自由群上受限拓扑之间的联系。
• 探讨自由群中陪集乘积在受限拓扑下是否闭合，因为这决定了非w-sofic群的存在性。
• 建立此类乘积在受限拓扑中不闭合与非w-sofic群存在性之间的等价关系。
• 通过共轭类乘积与受限闭包，对自由群中正规子群的有限可分性提供刻画。

提出的方法

• 通过赋予双不变度量的有限群中的 $(\Phi,\epsilon,\alpha)$-同态定义w-sofic群，推广了软群的定义。
• 在有限生成自由群 $F$ 上使用受限拓扑，其中若一个集合可通过到有限群的同态实现可分，则其为闭集。
• 证明：正规子群 $N \triangleleft F$ 是有限可分的，当且仅当对所有 $g_i \in N$，乘积 $[g_1]^F \cdots [g_k]^F$ 在受限拓扑下的闭包包含于 $N$。
• 通过考虑具有内部双不变度量的超有限群及其无穷小邻域，运用非标准分析技术来刻画w-sofic性。
• 利用如下事实：$F/N$ 是w-sofic当且仅当存在同态 $\phi: F \to H$，使得 $\phi(N) \subseteq \mathcal{E}$ 且 $\phi(F \setminus N) \cap \mathcal{E} = \emptyset$，其中 $\mathcal{E}$ 是超有限群 $H$ 中单位元的无穷小邻域。
• 应用通过到有限群的同态刻画受限闭包的方法：$x \in \overline{X}$ 当且仅当对所有此类 $\phi$，有 $\phi(x) \in \phi(X)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在非w-sofic群？若存在，这对自由群上的受限拓扑意味着什么？
• RQ2 自由群中陪集的乘积在受限拓扑下是否闭合？
• RQ3 自由群中陪集乘积的闭包是否包含于其生成的正规子群中？
• RQ4 能否通过共轭类乘积与受限闭包来刻画自由群中正规子群的有限可分性？
• RQ5 非w-sofic群的存在是否意味着受限拓扑无法闭合陪集乘积？

主要发现

• 非w-sofic群的存在性等价于存在一个有限生成自由群 $F$ 及元素 $g_1, \dots, g_k \in F$，使得 $\overline{[g_1]^F \cdots [g_k]^F} \not\subseteq N(g_1, \dots, g_k)$，其中 $N(g_1, \dots, g_k)$ 是由 $g_i$ 生成的正规子群。
• 正规子群 $N \triangleleft F$ 是有限可分的，当且仅当对所有 $g_1, \dots, g_k \in N$，乘积 $[g_1]^F \cdots [g_k]^F$ 在受限拓扑下的闭包包含于 $N$。
• 论文表明，在pro-$p$ 拓扑中，存在2生成自由群中的元素 $g_1, g_2$，使得 $[g_1]^F [g_2]^F$ 不是闭集，且其闭包包含不属于 $N(g_1, g_2)$ 的元素，提示在受限拓扑中也可能出现类似失败。
• 论文证明：$F/N$ 是w-sofic当且仅当存在同态 $\phi: F \to H$ 到有限群 $H$，使得 $\phi(N) \subseteq \mathcal{E}$ 且 $\phi(F \setminus N) \cap \mathcal{E} = \emptyset$，其中 $\mathcal{E}$ 是超有限群 $H$ 中单位元的无穷小邻域。
• 通过使用通过到有限群的同态刻画受限闭包的方法，证明了 $x \in \overline{X}$ 当且仅当对所有同态 $\phi$，有 $\phi(x) \in \phi(X)$。
• 论文确立了标准软群定义（使用 $S_n$ 上的汉明度量）是w-sofic性的特例，因此w-sofic群构成了比软群更广的类。