[论文解读] Sofic representations of amenable groups

Gábor Elek, Endre Szabó|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文证明了两个超限群沿任意可约子群的自由乘积仍是超限群，消除了此前对单调可剖分可约子群的限制。此外，本文进一步证明：一个有限生成群是可约的，当且仅当其所有忠实的超限表示在对称群的超积中彼此共轭，从而通过超限性给出了可约性的群论特征刻画。

ABSTRACT

Using probabilistic methods, Collins and Dykema proved that the free product of two sofic groups amalgamated over a monotileably amenable subgroup is sofic as well. We show that the restriction is unnecessary; the free product of two sofic groups amalgamated over an arbitrary amenable subgroup is sofic. We also prove a group theoretical analogue of a result of Kenley Jung. A finitely generated group is amenable if and only if it has only one sofic representation up to conjugacy equivalence.

研究动机与目标

• 消除此前关于超限群自由乘积沿可约子群的超限性结果中对单调可剖分可约子群的限制。
• 通过共轭类刻画超限表示，建立可约性的群论特征。
• 通过证明可约群的共轭唯一性结果，拓展冯诺依曼代数嵌入与超限群表示之间的类比。

提出的方法

• 使用概率方法与超限逼近技术，构造保留给定半径内局部结构的凯莱图的有限图逼近。
• 定义着色图之间的 r-同构为在大边子集上的部分同构，从而实现图序列之间的比较。
• 证明依赖于超积构造以及置换上的秩函数，以在对称群的超积中定义忠实嵌入。
• 作者利用可约群的超限逼近的拟有限性，在假设非可约群存在共轭的超限表示时导出矛盾。
• 通过在大子图上使用同构构造显式共轭双射，确保在超积中保持共轭。
• 论证利用了非可约群具有正等周常数的性质，从而阻止其超限逼近的拟有限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在超限群沿可约子群的自由乘积的超限性结果中，对单调可剖分可约子群的限制是否必要？
• RQ2 所有忠实的超限表示共轭是否能刻画有限生成群的可约性？
• RQ3 超限逼近的拟有限性与底层群的可约性之间有何关系？
• RQ4 非可约群的所有忠实超限表示是否均不共轭？
• RQ5 群 Σ 的超积构造与超限表示的分类之间有何关系？

主要发现

• 两个沿任意可约子群的超限群的自由乘积是超限群，证实单调可剖分性限制并非必要。
• 一个有限生成群是可约的，当且仅当其所有忠实的超限表示在对称群的超积中彼此共轭。
• 非可约群的超限逼近不是拟有限的，因为即使移除正比例的边后，其仍包含大小不断增长的连通分量。
• 对于可约群，其超限逼近可在 r-同构意义下被统一逼近，从而可在超积中构造共轭元素。
• 非可约群存在不共轭的忠实嵌入，源于其超限逼近的拟有限性失败。
• 该证明在超限逼近的背景下，建立了几何性质（拟有限性）与代数性质（可约性）之间的强关联。