[论文解读] Soficity, amenability, and dynamical entropy

David Kerr, Hanfeng Li|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用 8

一句话总结

该论文证明，对于可约的可数离散群，通过算子代数框架定义的索菲克测度熵和拓扑熵不变量——无论选择何种索菲克逼近序列——均与它们的经典对应物（分别为科莫戈罗夫-辛钦熵和鲍文熵）一致。证明依赖于索菲克版本的罗赫林引理和变分原理，推广了鲍文在可测情形下的早期结果，并为索菲克熵提供了新的空间形式表述。

ABSTRACT

In a previous paper the authors developed an operator-algebraic approach to Lewis Bowen's sofic measure entropy that yields invariants for actions of countable sofic groups by homeomorphisms on a compact metrizable space and by measure-preserving transformations on a standard probability space. We show here that these measure and topological entropy invariants both coincide with their classical counterparts when the acting group is amenable.

研究动机与目标

• 证明对于可约群，索菲克测度熵与经典科莫戈罗夫-辛钦熵一致。
• 证明在可约性条件下，索菲克拓扑熵与经典拓扑熵一致。
• 在可约设定下，建立算子代数形式与空间形式的索菲克熵等价性。
• 通过新颖的空间方法，推广鲍文关于可约群索菲克熵的结果。
• 提供一种不依赖测度论复杂性的拓扑熵一致性的直接证明。

提出的方法

• 通过在紧致可度量化空间上具有不变博雷尔测度的动力系统，发展了索菲克熵的空间表述。
• 应用索菲克逼近版本的罗赫林引理，将奥恩斯坦与韦斯的构造推广至有限图与索菲克逼近。
• 利用准平铺与划分技术，在索菲克作用下控制有限集合中的测度逼近。
• 采用变分原理，将索菲克拓扑熵与测度熵联系起来，类似于经典情形。
• 通过在索菲克逼近中对基点进行置换，构造 $(\rho, \rho_\nu)$-分离集，以从下方界定熵。
• 应用杰维特-克里格定理与经典变分原理，将遍历情形约化为已知结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于可约群，索菲克测度熵是否与经典科莫戈罗夫-辛钦熵一致？
• RQ2 当作用群为可约时，索菲克拓扑熵是否与经典拓扑熵一致？
• RQ3 在可约群情形下，索菲克熵的算子代数定义能否等价地以空间形式表述？
• RQ4 对于可约群，索菲克熵是否在所有索菲克逼近序列下保持不变？
• RQ5 能否构造出控制有限逼近空间中准平铺覆盖与铺砌中心集的索菲克罗赫林引理？

主要发现

• 对于可约的可数离散群，无论选择何种索菲克逼近序列，索菲克测度熵均等于经典科莫戈罗夫-辛钦熵。
• 当群为可约时，索菲克拓扑熵与经典拓扑熵一致，适用于紧致可度量化空间上的连续作用。
• 在可约情形下，索菲克熵的空间表述与作者先前工作[9]中的算子代数定义等价。
• 构造出一个索菲克罗赫林引理，可在有限逼近空间中实现预设的准平铺覆盖与铺砌中心集。
• 在某些条件下，索菲克测度熵的下界被证明为无穷大，表明熵无上界，除非系统具有适当的结构。
• 该结果在不假设遍历性的情况下依然成立，从而将适用范围扩展至文献中以往结果之外。