[论文解读] Soft topology redefined

Moumita Chiney, S. K. Samanta|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2016

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文通过使用非分配性的基本并集与交集运算，重新定义了软拓扑，提出了一种与Naz的拓扑不同的新颖软拓扑框架。其主要贡献在于基于软元素和基本补集的新型软拓扑，其中排中律不成立，为基于软集的拓扑结构提供了非经典基础。

ABSTRACT

In this paper we give a new definition of soft topology using elementary union and elementary intersection although these operations are not distributive. Also we have shown that this soft topology is different from Naz's soft topology and studied some basic properties of this new type of soft topology. Here we use elementary complement of soft sets, though law of excluded middle is not valid in general for this type of complementation.

研究动机与目标

• 提出一种基于非分配性基本并集与交集运算的软拓扑新定义。
• 将所提出的软拓扑与Naz的软拓扑区分开来，后者可被解释为经典拓扑。
• 利用软元素和基本补集研究该新型软拓扑空间的基础性质。
• 探讨该框架中排中律的失效，强调其非经典逻辑特征。
• 在新拓扑结构中建立软分离公理（正则性与正规性）。

提出的方法

• 通过在共同参数集A上的软集上使用基本并集与交集运算（而非标准集合运算）来定义软拓扑。
• 将软元素定义为从参数集A到全集X的函数，并通过逐点包含定义软隶属关系。
• 使用基本补集（而非标准相对补集）来定义软闭集，从而导致非经典逻辑行为。
• 基于软元素及其邻域建立闭包运算，以定义软正则与软正规空间。
• 构造实例以证明新拓扑与Naz的拓扑不等价，且关键拓扑性质（如正则性）不蕴含经典邻域条件。
• 通过软元素与开软集定义软分离公理（软T1、软正则、软正规），其中闭包通过软元素邻域定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过非分配性的基本并集与交集运算重新定义软拓扑？
• RQ2 所提出的软拓扑在哪些方面与Naz的软拓扑不同，特别是在拓扑结构与解释方面？
• RQ3 在软集中使用基本补集有何影响，特别是对排中律失效的影响？
• RQ4 在此新框架中，软正则性与软正规性能否有意义地定义，它们与邻域条件有何关系？
• RQ5 新公理（如软正则性）在多大程度上蕴含或区别于软设置中的经典拓扑性质？

主要发现

• 所提出的软拓扑与Naz的软拓扑本质不同，因其不等价于经典拓扑，且依赖于非分配性运算。
• 在此框架中，基本补集的使用使排中律失效，即一般情况下有 (F,A) ∪ (F,A)^C ≠ (X̃,A)。
• 软正则性由存在满足 (V,A) ⊆ (U,A) 与 (V,A) ∩ (W,A) = (Φ,A) 的邻域特征刻画，其中 (W,A) 为 (V,A) 闭包的补集。
• 正则性条件中关于邻域精化的逆命题不成立，如例6.9所示，一个软正则空间可能不满足邻域条件。
• 软正规性由存在分离不相交软闭集的不相交开软集特征刻画，且条件 (F ⊆ V ⊆ cl(V) ⊆ U) 暗示软正规性，尽管其逆命题不成立。
• 例6.12表明，一个软正规空间可能不满足邻域精化条件，从而证实正规性特征的逆命题不成立。