[论文解读] Sojourn time in a $M^{[X]}/M/1$ Processor Sharing Queue with batch arrivals (II)

Fabrice Guillemin, Veronica Quintuna Rodriguez+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2020

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文推导了在批量到达的 $M^{[X]}/M/1$ 处理器共享队列中，批量的停留时间分布，假设批量大小为几何分布。通过将系统建模为无限维线性微分系统，并将其转化为关于双变量生成函数的控制偏微分方程（PDE），作者利用拉普拉斯变换和特征曲线方法求解该PDE，最终获得停留时间分布的积分表示及其尾部行为。

ABSTRACT

For the $M^{[X]}/M/1$ processor Sharing queue with batch arrivals, the sojourn time $Ω$ of a batch is investigated. We first show that the distribution of $Ω$ can be generally obtained from an infinite linear differential system. When further assuming that the batch size has a geometric distribution with given parameter $q \in [0,1[$, this differential system is further analyzed by means of an associated bivariate generating function $(x,u,v) \mapsto E(x,u,v)$. Specifically, denoting by $s \mapsto E^*(s,u,v)$ the one-sided Laplace transform of $E(\cdot,u,v)$ and defining $$ Φ(s,u,v) = P(s,u) \, (1-v) \, F^*(s,u,uv), \quad 0 < \vert u \vert < 1, \, \vert v \vert < 1, $$ for some known polynomial $P(s,u)$ and where $$ F^*(s,u,v) = \frac{E^*(s,u,v)-E^*(s,q,v)}{u-q}, $$ we show that the function $Φ$ verifies an inhomogeneous linear partial differential equation (PDE) $$ \frac{\partial Φ}{\partial u} - \left [ \frac{u - q}{P(s,u)} ight ] v(1-v) \, \frac{\partial Φ}{\partial v} + \ell(s,u,v) = 0 $$ for given $s$, where the last term $\ell(s,u,v)$ involves both $E^*(s,q,v)$ and the first order derivative $\partial E^*(s,q,v)/\partial v$ at the boundary point $u = q$. Solving this PDE for $Φ$ via its characteristic curves and with the required analyticity properties eventually determines the one-sided Laplace transform $E^*$. By means of a Laplace inversion of this transform $E^*$, the distribution function of the sojourn time $Ω$ of a batch is then given in an integral form. The tail behavior of the distribution of sojourn time $Ω$ is finally derived.

研究动机与目标

• 表征在具有批量到达的 $M^{[X]}/M/1$ 处理器共享队列中，整个批量的停留时间 $\Omega$ 的平稳分布。
• 通过推导尚未被研究过的 $B > 1$ 情况下的批量停留时间分布，填补文献中的空白。
• 在批量大小为几何分布的假设下，分析停留时间分布的尾部行为。
• 为从队列模型中产生的无限维系统，建立基于生成函数和拉普拉斯变换的可解框架。

提出的方法

• 基于批量到达时系统中的作业数，将批量的停留时间分布表述为无限维线性微分系统。
• 定义一个双变量生成函数 $E(x,u,v)$，以聚合给定系统状态和批量大小时的停留时间条件分布函数。
• 将该系统转化为关于 $E(x,u,v)$ 的单边拉普拉斯变换 $E^*(s,u,v)$ 的控制二阶线性PDE。
• 引入辅助函数 $F^*$ 和 $\Phi$，将控制PDE简化为涉及 $u = q$ 处边界值的非齐次线性PDE。
• 使用特征曲线求解 $\Phi$ 的PDE，并通过非齐次项的必要充分条件，在 $u = 0$ 处强制解析性。
• 通过涉及超几何函数积分的三角形线性系统，确定拉普拉斯变换 $E^*(s,q,v)$，从而实现逆拉普拉斯变换以恢复分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有批量到达的 $M^{[X]}/M/1$ 处理器共享队列中，批量的停留时间 $\Omega$ 的精确分布是什么？
• RQ2 批量停留时间分布的尾部行为如何依赖于到达率 $\lambda$、服务率 $\mu$ 和批量大小参数 $q$ 等系统参数？
• RQ3 能否利用生成函数和拉普拉斯变换，将控制停留时间的无限维系统约化为可解的PDE？
• RQ4 批量大小的几何分布在此推导停留时间分布显式表达式的过程中起到了什么作用？

主要发现

• 通过求解带有边界条件的PDE，得到 $E^*(s,u,v)$ 的拉普拉斯逆变换，从而以积分形式获得批量停留时间分布。
• 拉普拉斯变换 $E^*(s,q,v)$ 由涉及高斯超几何函数积分的三角形线性系统唯一确定。
• 推导出停留时间分布的尾部行为，提供了大停留时间下的渐近衰减率。
• 解依赖于在 $u=0$ 处解析性的必要充分条件，该条件确保了PDE解的存在性与唯一性。
• 通过特征曲线求解 $\Phi$ 的控制PDE，其中非齐次项涉及 $E^*$ 在 $u=q$ 处的边界值。
• 该方法成功地将无限维系统约化为关于系数 $E_b^*(s,q)$ 的有限维线性系统，从而实现了变换的显式计算。