[论文解读] Sojourn times of Gaussian related random fields

Krzysztof Dȩbicki, Enkelejd Hashorva+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2021

Probability and Risk Models被引用 1

一句话总结

本文建立了高斯相关随机场中停留时间与上确界尾概率之间的新颖反向渐近关系，引入统一双和法以推导停留时间的精确尾部渐近展开。研究证明，通过已知的上确界尾部行为，可精确推导停留时间的渐近性质，该方法在二维高斯场、卡方过程及平稳高斯排队过程中得到验证，且给出了明确的收敛速率与广义Berman型常数。

ABSTRACT

This paper is concerned with the asymptotic analysis of sojourn times of random fields with continuous sample paths. Under a very general framework we show that there is an interesting relationship between tail asymptotics of sojourn times and that of supremum. Moreover, we establish the uniform double-sum method to derive the tail asymptotics of sojourn times. In the literature, based on the pioneering research of S. Berman the sojourn times have been utilised to derive the tail asymptotics of supremum of Gaussian processes. In this paper we show that the opposite direction is even more fruitful, namely knowing the asymptotics of supremum o f random processes and fields (in particular Gaussian) it is possible to establish the asymptotics of their sojourn times. We illustrate our findings considering i) two dimensional Gaussian random fields, ii) chi-process generated by stationary Gaussian processes and iii) stationary Gaussian queueing processes.

研究动机与目标

• 正式建立高斯相关随机场中停留时间与上确界尾概率之间的反向渐近关系。
• 为多维随机场（d ≥ 2）开发统一双和法，此前该领域尚未有停留时间的渐近结果。
• 确立条件，使条件化停留时间分布收敛至非退化极限，从而实现精确渐近近似。
• 展示该方法在三类不同过程中的适用性：二维高斯随机场、卡方过程及平稳高斯排队过程。
• 推导控制极限停留时间分布的广义Berman型常数的显式表达式。

提出的方法

• 引入统一双和法，分析具有连续样本路径的随机场的停留时间。
• 将停留时间定义为水平u以上区域的Lebesgue测度，研究其在u → ∞时的尾部行为。
• 建立三个关键条件：(A1) 退化至相关集合，(A2) 统一单和近似，以及(A3) 双和项可忽略。
• 利用广义Berman型常数刻画停留时间的极限分布，其通过涉及分数布朗运动增量的积分表达式导出。
• 将该方法应用于三类过程：二维GRFs、卡方过程及反射分数布朗运动，在一般条件下验证A1–A3。
• 采用渐近展开与指数界控制尾部概率，验证双和项的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可从已知的高斯随机场上确界尾部渐近行为推导出停留时间的尾部渐近？
• RQ2 当u → ∞时，条件化停留时间分布在何种条件下收敛至非退化极限？
• RQ3 如何形式化并应用于多维高斯随机场（d ≥ 2）的统一双和法？
• RQ4 广义Berman型常数在刻画极限停留时间分布中起何种作用？
• RQ5 超越平稳或高斯过程，上确界与停留时间渐近之间的反向关系在多大程度上可推广？

主要发现

• 本文证明，停留时间的尾部渐近与上确界尾部渐近成比例：当u → ∞时，ru(z) ∼ ¯F(z)pu，其中¯F(z)为极限条件停留时间分布。
• 统一双和法成功推导出d ≥ 2情形下停留时间的精确渐近展开，该领域此前文献中尚无相关结果。
• 对于二维高斯随机场，极限停留时间分布由涉及分数布朗运动增量的广义Berman型常数刻画。
• 在卡方过程与反射分数布朗运动中，一般假设下验证了条件A1–A3，从而实现精确停留时间渐近展开。
• 该方法证实，停留时间尾部概率与上确界尾部概率之比收敛至确定性极限¯F(z)，其显式表达式可通过积分表示导出。
• 通过指数界控制双和项的收敛速率，确保在给定条件下其可忽略。