[论文解读] Solid-set functions and topological measures on locally compact spaces

Svetlana V. Butler|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2019

Advanced Topology and Set Theory参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文提出一种方法，通过实心集函数在局部紧致、连通且局部连通的空间上构造拓扑测度。证明了在有界实心集上定义的实心集函数可唯一延拓为拓扑测度，并提供一种构造性技术，通过 genus 0 的单点紧化，从紧致空间的实例生成此类测度。

ABSTRACT

A topological measure on a locally compact space is a set function on open and closed subsets which is finitely additive on the collection of open and compact sets, inner regular on open sets, and outer regular on closed sets. Almost all works devoted to topological measures, corresponding non-linear functionals, and their applications deal with compact spaces. The present paper is one in a series that investigates topological measures and corresponding non-linear functionals on locally compact spaces. Here we examine solid and semi-solid sets on a locally compact space. We then give a method of constructing topological measures from solid-set functions on a locally compact, connected, locally connected space. The paper gives examples of finite and infinite topological measures on locally compact, non-compact spaces and presents an easy way to generate topological measures on spaces whose one-point compactification has genus 0 from existing examples of topological measures on compact spaces.

研究动机与目标

• 为非紧致局部紧致空间上的拓扑测度提供完整且严谨的构造方法。
• 克服先前工作中依赖连通与余连通集的局限性，此类方法可能导致平凡测度。
• 开发一种系统化方法，将实心集函数延拓为局部紧致空间上的拓扑测度。
• 提供一种实用方法，利用紧致空间上的已知实例，在 $\mathbb{R}^n$ 和半空间等非紧致空间上生成拓扑测度。
• 证明拓扑测度在紧致实心集上的限制唯一确定该测度，从而确保延拓的唯一性。

提出的方法

• 将实心集定义为补集仅含无界分支的连通集，将半实心集定义为补集中仅有有限个分支的连通集。
• 引入实心集函数，即在有界实心集上定义的非负集函数，满足有限可加性、单调性及关于递增并集的连续性。
• 通过极限过程将实心集函数从有界实心集延拓至紧致连通半实心集。
• 进一步利用有限可加性与连续性，将延拓扩展至不相交紧致连通集的有限并集。
• 证明所得集函数是整个空间上的拓扑测度，满足内正则性与外正则性，并在开集与紧致集上满足有限可加性。
• 利用 genus 0 的单点紧化，将紧致空间上的已知拓扑测度通过定理 64 转移到非紧致空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在局部紧致但非紧致的空间上系统地构造拓扑测度？
• RQ2 哪些集合性质（如实心或半实心）允许将集函数良好延拓为拓扑测度？
• RQ3 能否利用紧致空间上的拓扑测度生成非紧致局部紧致空间上的拓扑测度？
• RQ4 为何基于连通与余连通集的先前构造在非紧致情形下会失效？
• RQ5 何种条件可确保从实心集函数到拓扑测度的延拓具有唯一性？

主要发现

• 在局部紧致、连通且局部连通的空间中，定义在有界实心集上的实心集函数可唯一延拓为整个空间上的拓扑测度。
• 延拓过程分阶段进行：首先延拓至紧致连通半实心集，再至不相交紧致连通集的有限并集，最终得到完整的拓扑测度。
• 本文提供一个反例，表明局部紧致空间上的拓扑测度可能不满足次可加性，即使其在 $\mathscr{K}(X) \cup \mathscr{O}(X)$ 上满足有限可加性，从而将其与测度区分开来。
• 定理 64 表明：若空间 $X$ 具有 genus 0 的单点紧化，则 $\hat{X}$ 上的任意实心集函数限制在 $X$ 上仍为实心集函数，且可唯一延拓为 $X$ 上的拓扑测度。
• 实例包括使用点函数在 $\mathbb{R}^n$ 和 $\mathbb{R}^2$ 上构造的有限拓扑测度，以及从勒贝格测度导出的 $\mathbb{R}^n$ 上的无限拓扑测度。
• 所构造的拓扑测度不一定是测度，如例 62 和 63 所示，即使其在紧致集与开集上满足有限可加性，仍可能不满足次可加性。