[论文解读] Solitary wave simulations of the Boussinesq Systems

Özlem Ersoy Hepson, İdiris Dağ+1 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2016

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 19被引用 10

一句话总结

本论文提出一种基于指数型三次B样条的配置方法，用于数值求解描述孤立波传播的正则化与经典Boussinesq系统的一维初边值问题。该方法在特定参数选择下，相较于先前的扩展型三次B样条方法，实现了更高的精度，尤其在U(x,t)误差降低方面表现显著，通过t=5时的L∞范数比较得到验证。

ABSTRACT

In the study, the collocation method based on exponential cubic B-spline functions is proposed to solve one dimensional Boussinesq systems numerically. Two initial boundary value problems for Regularized and Classical Boussinesq systems modeling motion of traveling waves are considered. The accuracy of the method is validated by measuring the error between the numerical and analytical solutions. The numerical solutions obtained by various values of free parameter $p$ are compared with some solutions in literature.

研究动机与目标

• 开发一种高精度的数值方法，用于模拟一维Boussinesq系统中的孤立波解。
• 解决建模流体动力学中长表面波的非线性色散偏微分方程的求解挑战。
• 将所提出的指数型三次B样条配置方法与文献中已有的扩展型三次B样条方法进行性能比较。
• 通过离散最大误差范数计算，并与解析解及先前数值结果对比，验证该方法的精度。

提出的方法

• 该方法采用基于指数型三次B样条函数的空间配置离散化方法。
• 时间方向的离散化采用Crank-Nicolson格式与有限差分法。
• 通过在选定的节点点上使用指数型三次B样条基函数对控制方程进行配点求解。
• 调整指数型三次B样条中的自由参数ζ以优化数值精度。
• 该方法应用于两个初边值问题：一个用于经典Boussinesq系统（CBS），另一个用于正则化Boussinesq系统（RBS）。
• 通过计算L∞误差范数并将其与解析解及Aksoy的扩展型三次B样条方法结果进行比较，对数值解进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 指数型三次B样条配置方法在Boussinesq系统的孤立波模拟中，是否能实现优于现有扩展型三次B样条方法的精度？
• RQ2 自由参数ζ的选择如何影响U(x,t)和V(x,t)分量数值解的精度？
• RQ3 在长时间模拟中，该方法在多大程度上保持了孤立波的波形与传播速度？
• RQ4 在不同时间步长和参数取值下，该方法与Aksoy的扩展型三次B样条方法在U(x,t)和V(x,t)的数值误差方面有何差异？
• RQ5 指数型三次B样条配置方法在经典与正则化Boussinesq系统中的稳定性与收敛性行为如何？

主要发现

• 在t=5时，所提出的指数型三次B样条配置方法在U(x,t)的L∞误差上显著低于Aksoy的扩展型三次B样条方法，其中ζ=0.0000086530时误差降低至0.100474×10⁻³，而Aksoy方法在λ=0时误差为0.551502×10⁻³。
• 对于V(x,t)，两种方法的精度相当，L∞误差均接近10⁻¹⁴，表明在V分量上具有高度稳定性和精确性。
• 该方法成功模拟了无形状畸变的行进波，t=15时波峰位置与以Cₛ=1/3速度传播的预期值x=5完全一致。
• 在t=5时的误差分布显示，U(x,t)的最大误差约为1×10⁻⁴，V(x,t)的最大误差约为1×10⁻¹⁴，证实了方法的高精度。
• ζ=0.0000086530的取值可获得最优结果，使U(x,t)的误差相比Aksoy方法在λ=0时降低了80%以上。
• 该方法在长时间模拟中表现出强健性与可靠性，能保持波形完整性并维持低误差水平，适用于不同时间步长。