[论文解读] Solitary waves and their stability in colloidal media: semi-analytical solutions

T. R. Marchant, Noel F. Smyth|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2012

Nonlinear Photonic Systems参考文献 24被引用 11

一句话总结

本文通过平均拉格朗日量和试探函数，构建了一种半解析模型，研究了基于硬球粒子相互作用（通过Carnahan-Starling状态方程建模）的胶体介质中的孤立波。结果表明，仅在低背景堆积分数下存在多个稳定解分支，且在1D和2D几何构型下，半解析解与数值解在功率-传播常数曲线和中性稳定性曲线方面均表现出极佳的一致性。

ABSTRACT

Spatial solitary waves in colloidal suspensions of spherical dielectric nanoparticles are considered. The interaction of the nanoparticles is modelled as a hard-sphere gas, with the Carnahan-Starling formula used for the gas compressibility. Semi-analytical solutions, for both one and two spatial dimensions, are derived using an averaged Lagrangian and suitable trial functions for the solitary waves. Power versus propagation constant curves and neutral stability curves are obtained for both cases, which illustrate that multiple solution branches occur for both the one and two dimensional geometries. For the one-dimensional case it is found that three solution branches (with a bistable regime) occur, while for the two-dimensional case two solution branches (with a single stable branch) occur in the limit of low background packing fractions. For high background packing fractions the power versus propagation constant curves are monotonic and the solitary waves stable for all parameter values. Comparisons are made between the semi-analytical and numerical solutions, with excellent comparison obtained.

研究动机与目标

• 开发一种半解析框架，用于研究具有非线性光学响应的胶体悬浮液中的孤立波。
• 在硬球气体模型与Carnahan-Starling可压缩性条件下，研究一维和二维空间中孤立波解的存在性与稳定性。
• 确定多个解分支出现的条件，以及其与稳定性的关系。
• 比较半解析预测与数值解在功率-传播常数曲线和中性稳定性曲线上的结果。
• 识别解多重性消失的关键背景堆积分数，特别是在二维几何中。

提出的方法

• 采用平均拉格朗日量公式推导胶体介质中孤立波动力学的调制方程。
• 使用具有可调参数的试探函数，表示一维和二维几何中的孤立波形。
• 数值求解所得调制方程，获得功率与传播常数的关系曲线。
• 应用条件 $ P_{\sigma} = 0 $ 以定位中性稳定性曲线，即稳定与不稳定解分支之间的边界。
• 采用虚时迭代法数值计算稳定孤立波解，以供对比。
• 在不同背景堆积分数 $ \eta_0 $ 下，比较半解析结果与数值解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在1D和2D胶体介质中，孤立波的多个解分支在何种条件下存在？
• RQ2 背景堆积分数 $ \eta_0 $ 如何影响孤立波解的多重性与稳定性？
• RQ3 在二维几何中，解分支多重性消失的临界 $ \eta_0 $ 值是多少？
• RQ4 与数值解相比，半解析方法在预测中性稳定性曲线方面的准确性如何？
• RQ5 在物理上合理的参数范围内，孤立波振幅与最大局部堆积分数之间存在何种关系？

主要发现

• 在一维情况下，三个解分支出现，并形成双稳态区域，但仅在低背景堆积分数下存在。
• 在二维情况下，低 $ \eta_0 $ 时存在两个解分支，但当 $ \eta_0 > 0.125 $ 时，仅剩一个稳定分支，此后曲线变为单调。
• 在二维中解多重性消失的临界背景堆积分数为 $ \eta_0 = 0.125 $，该结果通过半解析与数值方法均得到验证。
• 在功率-传播常数曲线和中性稳定性曲线方面，半解析解与数值解之间表现出极佳的一致性。
• 仅当背景堆积分数较小且振幅适中时，才能存在具有物理合理堆积分数（≤ 0.496）的稳定孤立波。
• 在 $ (\log\sigma, \eta_0) $ 和 $ (a, \eta) $ 平面中的中性稳定性曲线表明，稳定解被限制在低 $ \eta_0 $ 和中等振幅区域。