[论文解读] Soliton solutions of an integrable nonlocal modified Korteweg-de Vries equation through inverse scattering transform

Jia-Liang Ji, Zuo-Nong Zhu|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2016

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文通过反散射变换（IST）方法，为一个可积的非局部修正Korteweg-de Vries（mKdV）方程提供了精确的孤子与呼吸子解。研究推导出了一阶孤子、二阶孤子及呼吸子解，其具有新颖的特性，如指数振幅增长或衰减以及相位跃迁，这些特性使其与经典mKdV解显著不同，尤其是在非局部PT对称约化下。

ABSTRACT

It is well known that the nonlinear Schrödinger (NLS) equation is a very important integrable equation. Ablowitz and Musslimani introduced and investigated an integrable nonlocal NLS equation through inverse scattering transform. Very recently, we proposed an integrable nonlocal modified Korteweg-de Vries equation (mKdV) which can also be found in a paper of Ablowitz and Musslimani. We have constructed the Darboux transformation and soliton solutions for the nonlocal mKdV equation. In this paper, we will investigate further the nonlocal mKdV equation. We will give its exact solutions including soliton and breather through inverse scattering transformation. These solutions have some new properties, which are different from the ones of the mKdV equation.

研究动机与目标

• 通过反散射变换（IST）研究可积的非局部mKdV方程，拓展先前关于达布变换的研究工作。
• 推导非局部mKdV方程在非局部PT对称性下的精确解，包括孤子与呼吸子。
• 分析解的长时间行为与奇点结构，突出其与经典mKdV方程的差异。
• 证明非局部mKdV方程支持具有指数振幅增长或衰减的孤子解，而经典情况则不具备此特性。
• 通过IST系统性地构造解，包括推导朗斯基恒等式与谱数据关系。

提出的方法

• 通过含谱参数 $k$ 的 $2\times2$ 矩阵系统构造非局部mKdV方程的Lax对，涉及 $\sigma_3$、$\mathbf{Q}$ 及辅助矩阵 $\mathbf{V}_1$、$\mathbf{V}_2$。
• 通过定义在 $x \to \pm\infty$ 处具有特定渐近行为的Jost解 $\phi$、$\bar{\phi}$、$\psi$、$\bar{\psi}$，应用反散射变换。
• 通过朗斯基关系与谱对称性推导散射数据，包括 $a(k)$、$b(k)$ 及其复共轭。
• 构建Gelfand–Levitan–Marchenko积分方程，从散射数据重构势函数 $q(x,t)$。
• 施加非局部约化 $r(x,t) = -q(-x,-t)$，从Lax对系统恢复非局部mKdV方程。
• 求解逆问题，以 $x$ 与 $t$ 的指数函数及双曲/三角函数形式，获得一阶孤子、二阶孤子与呼吸子解。

实验结果

研究问题

• RQ1 非局部mKdV方程的孤子解行为与经典mKdV方程相比有何不同？
• RQ2 在非局部PT对称约化下，孤子解的长时间渐近行为如何？
• RQ3 非局部mKdV方程的解中，奇点在何种条件下出现？
• RQ4 能否为非局部mKdV方程构造呼吸子解？其结构特性为何？
• RQ5 反散射变换如何应用于具有非局部约化的非局部可积系统？

主要发现

• 一阶孤子解的振幅表现出指数衰减或增长，具体取决于 $\alpha - \beta$ 的符号：当 $\alpha < \beta$ 时振幅衰减，当 $\alpha > \beta$ 时振幅增长。
• 亮-亮型二阶孤子解表现出不对称的振幅演化：根据参数 $\alpha_j$、$\beta_j$ 的取值，一个孤子可能指数增长，而另一个则指数衰减。
• 在亮-暗孤子情形下，两个孤子均可表现出指数增长或衰减，相互作用过程中发生相位跃迁，但速度保持不变。
• 呼吸子解仅在特定对称条件下存在：$k_1 = -k_2^*$ 且 $\bar{k}_1 = -\bar{k}_2^*$，当 $\eta_1 = \eta_2 = \zeta_1 = \zeta_2 = \mu$ 时，存在一种特殊情形，产生周期性且局域的呼吸子。
• 呼吸子解显式表达为 $q(x,t) = 4\mu \frac{\sinh(\xi_+ among \sin(\xi_-) - \cosh(\xi_+)\cos(\xi_-)}{\cosh^2(\xi_+) + \sin^2(\xi_-)}$，其中 $\xi_\pm = -2\mu(x \pm 8\mu^2 t)$，显示了空间与时间上的周期性振荡。
• 当 $\eta_1 \neq \eta_2$ 或 $\zeta_1 \neq \zeta_2$ 时，呼吸子解会出现奇点，但在参数选择对称时解保持正则。