[论文解读] Solitonic symmetry as non-invertible symmetry: cohomology theories with TQFT coefficients

Shi Chen, Yuya Tanizaki|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2023

Algebraic structures and combinatorial models被引用 12

一句话总结

论文将孤子对称性重新表述为由与路径积分目标空间 Y 耦合的辅助 TQFT 的分区函数生成的非可逆广义对称性，形成带有 TQFT 系数的孤子同调理论。

ABSTRACT

Originating from the topology of the path-integral target space $Y$, solitonic symmetry describes the conservation law of topological solitons and the selection rule of defect operators. As Ref.~\cite{Chen:2022cyw} exemplifies, the conventional treatment of solitonic symmetry as an invertible symmetry based on homotopy groups is inappropriate. In this paper, we develop a systematic framework to treat solitonic symmetries as non-invertible generalized symmetries. We propose that the non-invertible solitonic symmetries are generated by the partition functions of auxiliary topological quantum field theories (TQFTs) coupled with the target space $Y$. We then understand solitonic symmetries as non-invertible cohomology theories on $Y$ with TQFT coefficients. This perspective enables us to identify the invertible solitonic subsymmetries and also clarifies the topological origin of the non-invertibility in solitonic symmetry. We finally discuss how solitonic symmetry relies on and goes beyond the conventional wisdom of homotopy groups. This paper is aimed at a tentative general framework for solitonic symmetry, serving as a starting point for future developments.

研究动机与目标

• 为超越同倫群描述的孤子对称性提供新的基础。
• 提出孤子对称性由与目标空间 Y 耦合的辅助完整扩展 TQFT 的分区函数生成。
• 阐明孤子对称性的代数结构及其与可逆子对称性的关系。
• 解释孤子对称性如何超越传统基于同伦的分类。

提出的方法

• 将孤子对称性定义为依赖于目标空间 Y 的拓扑泛函所产生的对称性。
• 论证 locality 要求拓扑泛函来自辅助的完整扩展 TQFT 的分区函数（TQFT 系数）。
• 描述由此产生的对称融合高阶范畴 Rep•(Y) 和 sRep•(Y) 作为代数框架。
• 展示可逆子对称性如何与带有 TQFT 系数的普通同调理论相关。
• 讨论从将 Rep•(Y) 分解为凝聚与球面拓扑数据中产生的非可逆性。
• 提供指引拓扑泛函构造的一致性与局部性原则。

实验结果

研究问题

• RQ1 在超越同伦群描述的情形下，孤子对称性的适当基础是什么？
• RQ2 如何在满足 locality 与 coherence 的前提下，定义拓扑泛函以一致地产生孤子对称性？
• RQ3 在高维空间中，支配孤子对称性的代数结构是什么？
• RQ4 可逆与非可逆的孤子子对称性与带有 TQFT 系数的传统同调理论有何关系？
• RQ5 孤子对称性在何种意义上超越同伦理论并编码非可逆融合数据？

主要发现

• 孤子对称性自然地由与目标空间 Y 耦合的辅助完整扩展 TQFT 的分区函数产生。
• 拓扑泛函构成一个交换性、非可逆的融合结构，由对称融合高阶范畴 Rep•(Y) 与 sRep•(Y) 捕获。
• 孤子对称性可被视为在 Y 上带有 TQFT 系数的非可逆同调理论，推广了可逆同调理论。
• 可逆孤子子对称性来自正统的同调理论，而非可逆性则与 Y 的拓扑数据及球面非平凡性相关。
• 该框架区分了由孤子缺陷携带的荷载，并显示局部性如何通过广义取向约束可接受的泛函。