[论文解读] Solitonic symmetry beyond homotopy: Invertibility from bordism and noninvertibility from topological quantum field theory

Shi Chen, Yuya Tanizaki|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2022

Black Holes and Theoretical Physics被引用 13

一句话总结

该论文揭示了在4维 $\mathbb{C}P^1$ 模型中，Hopfion $U(1)$ 对称性并非基本对称性，而是由3维自旋拓扑量子场理论（TQFT）生成的非可逆对称性。虽然同伦论预测由 $\pi_3(\mathbb{C}P^1) \simeq \mathbb{Z}$ 可得 $U(1)$ 对称性，但实际对称性是一种具有可逆 $\mathbb{Z}_2$ 部分的非可逆结构，该部分由自旋 bordism 分类，且完整对称性控制着与低维拓扑序的耦合。

ABSTRACT

Solitonic symmetry has been believed to follow the homotopy-group classification of topological solitons. Here, we point out a more sophisticated algebraic structure when solitons of different dimensions coexist in the spectrum. We uncover this phenomenon in a concrete quantum field theory, the $4$d $\mathbb{C}P^1$ model. This model has two kinds of solitonic excitations, vortices and hopfions, which would follow two $U(1)$ solitonic symmetries according to homotopy groups. Nevertheless, we demonstrate the nonexistence of the hopfion $U(1)$ symmetry by evaluating the hopfion charge of vortex operators. We clarify that what conserves hopfion numbers is a non-invertible symmetry generated by 3d spin topological quantum field theories (TQFTs). Its invertible part is just $\mathbb{Z}_2$, which we recognize as a spin bordism invariant. Compared with the 3d $\mathbb{C}P^1$ model, our work suggests a unified description of solitonic symmetries and couplings to topological phases.

研究动机与目标

• 解决长期以来关于为何由 $\pi_3(\mathbb{C}P^1) \simeq \mathbb{Z}$ 预言的 $U(1)$ Hopfion 对称性在 $\mathbb{C}P^1$ 模型中无法作为常规对称性存在的谜题。
• 研究由 $\pi_2(\mathbb{C}P^1) \simeq \mathbb{Z}$ 引入的涡旋如何污染并破坏朴素的 $U(1)$ Hopfion 对称性。
• 建立一个统一框架，将高维中的孤立子对称性与低维中的拓扑序耦合联系起来。
• 证明真正的 Hopfion 对称性是非可逆的，并由3维自旋TQFT生成，其可逆部分由自旋 bordism 不变量分类。

提出的方法

• 分析涡旋算符的 Hopfion 电荷，表明 $U(1)$ Hopfion 对称性与理论的动力学不一致。
• 使用自旋 bordism 不变量对 Hopfion 对称性的可逆部分进行分类，识别出 $\mathbb{Z}_2$ 为正确的可逆对称性。
• 从3维 TQFT $\mathcal{A}^{N,p}$ 构造对称性算符 $\mathcal{H}_{\frac{p}{N}\pi}(M_3)$，这些算符在4维 $\mathbb{C}P^1$ 模型上作为非可逆对称性生成元作用。
• 证明对称性算符与其形式逆元的融合产生凝聚算符 $\mathcal{C}(M_3)$，而非单位算符，从而证明其非可逆性。
• 将4维模型约化至3维时空，表明 Hopfion 变为瞬子，且完整对称性对应于通过 $\mathcal{A}^{N,p}$ 与拓扑序的耦合。
• 利用TQFT作为对称性算符，建立 $d$ 维中孤立子对称性与 $d-1$ 维中拓扑序耦合之间的对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何由 $\pi_3(\mathbb{C}P^1) \simeq \mathbb{Z}$ 预言的 $U(1)$ Hopfion 对称性在 $\mathbb{C}P^1$ 模型中不成立？
• RQ2 由 $\pi_2(\mathbb{C}P^1) \simeq \mathbb{Z}$ 引入的涡旋如何影响 Hopfion 电荷的守恒性，并破坏朴素的 $U(1)$ 对称性？
• RQ3 当存在高维孤立子时，Hopfion 对称性的真正代数结构是什么？
• RQ4 如何利用拓扑量子场理论（TQFT）描述完整的 Hopfion 对称性？这对对称性可逆性意味着什么？
• RQ5 能否通过一个共同框架将高维中的孤立子对称性与低维中的拓扑序耦合统一起来？

主要发现

• 由 $\pi_3(\mathbb{C}P^1) \simeq \mathbb{Z}$ 预言的 $U(1)$ Hopfion 对称性由于涡旋算符作用下 Hopfion 电荷不守恒而不存在。
• Hopfion 对称性的可逆部分为 $\mathbb{Z}_2$，由自旋 bordism 不变量 $\widetilde{\Omega}_4^{\mathrm{spin}}(\mathbb{C}P^1)$ 分类，而非由同伦群决定。
• 完整的 Hopfion 对称性是非可逆的，由3维自旋 TQFT $\mathcal{A}^{N,p}$ 生成，对称性算符 $\mathcal{H}_{\frac{p}{N}\pi}(M_3)$ 在4维模型上作用。
• 对 $\mathcal{H}_{\frac{\pi}{N}}(M_3)$ 与其形式逆元 $\mathcal{H}_{2\pi - \frac{\pi}{N}}(M_3)$ 的融合产生凝聚算符 $\mathcal{C}(M_3)$，而非单位算符，从而证明其非可逆性。
• 在3维时空中，对称性算符 $\mathcal{H}_{\frac{p}{N}\pi}(M_3)$ 分类了 $\mathbb{C}P^1$ 模型通过 $\mathcal{A}^{N,p}$ 与所有可能的拓扑序的耦合。
• 统一框架将 $d$ 维中的孤立子对称性与 $d-1$ 维中的拓扑相耦合联系起来，其中可逆对称性对应可逆相，非可逆对称性对应拓扑序。