[论文解读] Solution multiplicity and effects of data and eddy viscosity on Navier-Stokes solutions inferred by physics-informed neural networks

Zhicheng Wang, Xuhui Meng+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2023

Model Reduction and Neural Networks被引用 10

一句话总结

PINNs 可以在高 Re 的 2D 顶盖驱动腔流中产生多种 Navier–Stokes 解；熵-粘性正则化和数据驱动的涡粘度将解引导至与 DNS 类似、唯一、稳定的状态，即使数据很少。

ABSTRACT

Physics-informed neural networks (PINNs) have emerged as a new simulation paradigm for fluid flows and are especially effective for inverse and hybrid problems. However, vanilla PINNs often fail in forward problems, especially at high Reynolds (Re) number flows. Herein, we study systematically the classical lid-driven cavity flow at $Re=2,000$, $3,000$ and $5,000$. We observe that vanilla PINNs obtain two classes of solutions, one class that agrees with direct numerical simulations (DNS), and another that is an unstable solution to the Navier-Stokes equations and not physically realizable. We attribute this solution multiplicity to singularities and unbounded vorticity, and we propose regularization methods that restore a unique solution within 1\% difference from the DNS solution. In particular, we introduce a parameterized entropy-viscosity method as artificial eddy viscosity and identify suitable parameters that drive the PINNs solution towards the DNS solution. Furthermore, we solve the inverse problem by subsampling the DNS solution, and identify a new eddy viscosity distribution that leads to velocity and pressure fields almost identical to their DNS counterparts. Surprisingly, a single measurement at a random point suffices to obtain a unique PINNs DNS-like solution even without artificial viscosity, which suggests possible pathways in simulating high Reynolds number turbulent flows using vanilla PINNs.

研究动机与目标

• 使用物理信息神经网络（PINNs）研究在高雷诺数下的二维顶盖驱动腔流中是否存在多解。
• 评估数据可用性和人工涡粘性对 PINN 解的质量与稳定性的影响。
• 开发正则化策略，将 PINN 引导至物理可实现的、DNS 类似的解。
• 探索通过学习或推断涡粘度以匹配 DNS 类似的速度场和压力场的反问题。

提出的方法

• 在 PINN 框架内对二维稳态不可压 Navier–Stokes 方程进行表述，并最小化一个复合损失，包括边界、方程残差和一个熵残差项。
• 引入一个参数化的 entropy-viscosity 涡粘项 ν_E，叠加分子粘度以稳定训练并恢复 DNS 类似解。
• 针对 ν_E 实现两种方法：(i) 在有数据时基于神经网络的模型，(ii) 使用熵残差 r 定义 ν_E 的参数化模型，通过 ν_E = min(βν, α|r|L^2/U^2)。
• 使用修改后的 lid 边界条件以减小拐角奇点，并为 lid 采用看起来精确但数值光滑的替代边界。
• 采用 Adam、Xavier 初始化，以及损失分量 L_b（边界）、L_e（方程）和 L_s（熵残差）进行训练。
• 探索两网络和单网络涡粘度架构，并评估它们对收敛性、损失面和精度的影响。
• 研究有标签数据的作用（即使只有一个点）对获得 DNS 类似解的影响。
• 扩展到更高 Re 的流动（Re = 3,000 和 5,000），采用两网络涡粘度模型在无标签数据的情况下保持准确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 PINN 在高雷诺数下的二维顶盖驱动腔流是否存在多解？它们与 DNS 解有何不同？
• RQ2 熵-粘性正则化是否能够消除伪解并产生 DNS 类似的速度场和压力场？
• RQ3 通过参数化或学习模型引入涡粘度对高 Re 腔流的 PINN 收敛性、损失面和精度有何影响？
• RQ4 是否有可能在极少的有标签数据下（包括单点测量）恢复 DNS 类似的解或速度场？

主要发现

• 在 Re = 2000 时，vanilla PINNs (NSFnet) 表现出两类解：一类类似 DNS 解（类 2），另一类不稳定/物理上不可实现（类 1）。
• 熵-粘性正则化 (ev-NSFnet) 一致地将训练引导到 DNS 类似的类别，在五次独立运行中速度误差和压力误差（RPE）均低于 4%。
• 由参数模型推断的涡粘度分布集中在壁/角附近，大部分区域 ν_E 的最大值低于 0.1ν，在奇点角附近回升为较高值。
• 在与涡粘度相结合的情况下，单点数据也能得到 DNS 类似解，速度误差在某些设置下甚至小于 1%；单点数据 alone 也在某些设置下可做到。
• 两网络参数化涡粘度模型在无标签数据情况下实现 Re = 3,000 和 5,000 的准确预测，速度 RPE 在 3–5% 范围内，压力精度也较为合理。
• 损失地形分析表明，涡粘度或有标签数据能平滑损失面，促进收敛到对应于 DNS 类似解的全局最小值。
• 对于更高的 Re，若缺少充足数据从 Re = 2,000 迁移到更高 Re 可能导致更大误差；增加多点有标签数据显著提升精度。