[论文解读] Solution of a bilevel optimistic scheduling problem on parallel machines

Quentin Schau, Olivier Ploton+4 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2026

Optimization and Variational Analysis被引用 0

一句话总结

本论文研究在具有两种速度的匀质并行机器上的双层乐观调度问题，证明强NP-hard性并提出一个MIP、带列生成的分支定界算法，以及一个动态规划方法。

ABSTRACT

We consider the uniform parallel machines scheduling problem in the context of optimistic bilevel optimization, where two speed options are considered. In this scenario, the leader aims to minimize the weighted number of tardy jobs, while the follower seeks to minimize the total completion time on a set of uniform machines. This problem has practical applications in Industry 4.0. We show that this problem is NP-hard in the strong sense by providing a reduction from the Numerical 3-Dimensional Matching problem and we provide a moderately exponential-time dynamic programming algorithm. The problem is solved by means of a concise MIP formulation and a branch-and-bound algorithm that embeds a column generation approach for the lower bound computation. Computational experiments are presented for instances with up to 80 jobs and 4 machines while larger problems are out of reach for the proposed approaches.

研究动机与目标

• 理解在具有两种速度的匀质并行机器上双层乐观调度问题的复杂性与结构。
• 开发精确求解方法（MIP、带列生成的分支定界）以及在可处理实例上的动态规划方法。
• 提供复杂性证明以澄清问题的困难性并确定实用实例的算法策略。
• 提供维护决策（机器速度）如何与跟随者调度相互作用以最小化延迟和总完成时间的洞见。

提出的方法

• 将双层问题表述为领导者选择一组作业，跟随者在两种机器速度下最小化总完成时间。
• 证明跟随者问题具有块结构，在某些处理时间假设下对于两种速度可获得O(n log n)的解。
• 开发一个简洁的混合整数规划（MIP）模型，具有O(N(n+m))个变量和O(N^2 + Nm^2)条约束，用于刻画双层问题。
• 嵌入一个带列生成的分支定界算法，以获得对跟随者问题的强下界。
• 提出一个基于块结构的中等指数时间动态规划算法，用于当机器数量m固定时处理双层问题。
• 通过从NUM-3DM的归约来建立强NP-hardness，并在强意义上证明双层线性模型的NP-hard性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有两种速度的匀质并行机器上的双层乐观调度问题是否强NP-hard？
• RQ2 是否可以通过紧凑的MIP形式化和带列生成下界的分支定界方法实现精确求解？
• RQ3 跟随者问题的可计算性如何，动态规划能否利用两速度的块结构？
• RQ4 随着实例规模（作业、机器）增长，精确求解方法的实际可行性界限在哪里？

主要发现

• 具有两种速度的双层乐观调度问题是强NP-hard。
• 从 Numerical 3-Dimensional Matching 的多项式时间化简证明了对双层形式的困难性。
• 对于两种速度，跟随者问题在O(n log n)时间内可求解；在任意处理时间的一般情形下仍然是NP-hard。
• 一个具有多项式数量变量/约束的简洁MIP形式化模型能够刻画双层问题。
• 带列生成下界的分支定界算法显著有助于解决最多80个作业和4台机器的实例；更大实例仍具挑战性。
• 提出了一种固定机器数量时的中等指数时间动态规划方法，利用最优调度的块结构。