[论文解读] Solution of a Nonlinear Integral Equation via New Fixed Point Iteration Process

Chanchal Garodia, Izhar Uddin|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2018

Optimization and Variational Analysis参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文提出了一种在巴拿赫空间中用于逼近非扩张映射不动点的新型三步固定点迭代过程。证明了该新方案的强收敛性，并通过理论分析和数值例子表明，其收敛速度优于现有方法，包括皮卡德、曼、伊沙卡瓦、努尔、阿加瓦尔等人、阿巴斯与纳齐尔、以及塔库尔等人迭代。该方法进一步应用于求解混合型伏尔泰拉-弗雷德霍姆非线性积分方程，并保证收敛。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a new three-step iteration process in Banach space and prove convergence results for approximating fixed points for nonexpansive mappings. Also, we show that the newly introduced iteration process converges faster than a number of existing iteration processes. Further, we discuss about the solution of mixed type Volterra-Fredholm functional nonlinear integral equation.

研究动机与目标

• 在一致凸巴拿赫空间中为非扩张映射开发一种新的三步固定点迭代过程。
• 建立所提出的迭代过程强收敛于不动点的性质。
• 比较新方案与现有迭代方法的收敛速率。
• 将新迭代过程应用于求解混合型伏尔泰拉-弗雷德霍姆函数非线性积分方程。
• 提供数值证据以支持新方案收敛更快的理论主张。

提出的方法

• 所提出的迭代定义为：$ a_n = S c_n $，$ b_n = (1 - \delta_n) a_n + \delta_n S a_n $，$ c_{n+1} = S b_n $，其中 $ \delta_n \in (0,1) $。
• 收敛性分析在满足奥皮阿勒条件的一致凸巴拿赫空间中进行。
• 基于贝里内德的定义进行收敛速率的理论比较：若 $ \lim_{n\to\infty} \|r_n - r\| / \|p_n - p\| = 0 $，则序列 $ \{r_n\} $ 比 $ \{p_n\} $ 收敛更快。
• 通过定义将函数映射到函数的算子 $ A $，将该方法应用于混合型非线性积分方程。
• 在核函数 $ K $ 和 $ H $ 以及函数 $ F $ 满足利普希茨条件的前提下，证明算子 $ A $ 为非扩张。
• 利用递推界和不等式 $ e^x \geq 1 - x $（其中 $ x \in [0,1] $）证明序列 $ \{c_n\} $ 强收敛于解 $ p $。

实验结果

研究问题

• RQ1 所提出的三步迭代过程是否在一致凸巴拿赫空间中强收敛于非扩张映射的不动点？
• RQ2 新迭代的收敛速率与皮卡德、曼、伊沙卡瓦、努尔、阿加瓦尔等人、阿巴斯与纳齐尔、以及塔库尔等人迭代相比如何？
• RQ3 新迭代过程能否有效应用于求解混合型伏尔泰拉-弗雷德霍姆非线性积分方程？
• RQ4 新方案的收敛速度是否快于此前被认为较快的塔库尔等人迭代？
• RQ5 有哪些数值证据支持收敛更快的理论主张？

主要发现

• 所提出的迭代过程在一致凸巴拿赫空间中强收敛于非扩张映射的不动点。
• 理论分析证实，新迭代比皮卡德、曼、伊沙卡瓦、努尔、阿加瓦尔等人、阿巴斯与纳齐尔、以及塔库尔等人迭代收敛更快。
• 数值例子表明，新方案的收敛速度优于阿加瓦尔等人、阿巴斯与纳齐尔、努尔以及塔库尔等人迭代。
• 混合型伏尔泰拉-弗雷德霍姆积分方程的解作为迭代序列 $ \{c_n\} $ 的极限获得，且满足 $ \|c_n - p\| \to 0 $ 当 $ n \to \infty $。
• 收敛速率的上界为 $ \|c_{n+1} - p\| \leq \|c_0 - p\| \exp\left( - (1 - L) \sum_{k=0}^n \delta_k \right) $，其中 $ L = \alpha + (\beta L_K + \gamma L_H) \prod_{i=1}^m (h_i - g_i) $。
• 在假设 $ \sum_{k=0}^\infty \delta_k = \infty $ 的前提下，序列 $ \{c_n\} $ 强收敛于解 $ p $。