[论文解读] Solution of Conformable Fractional Ordinary Differential Equations via Differential Transform Method

Emrahünal, Ahmet Gökdoğan|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文提出共形分数阶微分变换法（CFDTM）以求解共形分数阶常微分方程（FODEs）。通过将经典微分变换法适配至共形分数阶导数，作者导出了高精度与高效率的FODEs解析解，通过展示采用该方法获得精确解的示范性例子，验证了该方法的可靠性。

ABSTRACT

Recently, a new fractional derivative called the conformable fractional derivative is given which is based on the basic limit definition of the derivative in [1]. Then, the fractional versions of chain rules, exponential functions, Gronwall's inequality, integration by parts, Taylor power series expansions is developed in [2]. In this paper, we give conformable fractional differential transform method and its application to conformable fractional differential equations.

研究动机与目标

• 开发一种可靠解析方法，用于求解共形分数阶常微分方程（FODEs）。
• 将经典微分变换法扩展至共形分数阶导数框架。
• 在基准FODEs上展示所提出的共形分数阶微分变换法（CFDTM）的有效性与准确性。
• 提供一种系统化方法，利用共形导数计算FODEs的级数解。

提出的方法

• 提出共形分数阶微分变换法（CFDTM），作为经典微分变换法向共形分数阶导数的扩展。
• 该方法将微分变换应用于共形分数阶导数，将FODEs转化为递归代数方程。
• 通过所获系数的逆微分变换，构建级数展开形式的解。
• 共形导数通过基于极限的定义给出，使微分变换可直接应用。
• 该方法在保持经典微分变换结构的同时，引入了分数阶参数 α ∈ (0,1]。
• 该方法被应用于多个FODEs，解通过逆变换重构，并与精确解进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典微分变换法能否有效适配以求解共形分数阶常微分方程？
• RQ2 所提出的共形分数阶微分变换法（CFDTM）在计算解析解时的准确度与效率如何？
• RQ3 当应用于具有已知精确解的线性和非线性FODEs时，CFDTM的收敛行为与可靠性如何？
• RQ4 分数阶参数 α 与初始条件如何影响级数解的结构？
• RQ5 哪些类型的FODEs可成功使用CFDTM求解？该方法存在哪些局限性？

主要发现

• CFDTM能高精度地生成多种线性和非线性共形FODEs的解析解。
• 该方法生成的级数形式解与已知解析解完全一致，验证了其精确性。
• 在 α ∈ (0,1] 的测试示例中，级数解表现出快速且稳定的收敛性。
• 该方法能有效处理涉及共形分数阶导数的初值问题，无需复杂的数值积分。
• CFDTM为求解FODEs提供了一种系统化且计算高效的替代传统数值方法的途径。
• 结果证实，当将微分变换方法扩展至共形分数阶微积分框架时，其具有可行性与鲁棒性。