[论文解读] Solution of Interpolation Problems via the Hankel Polynomial Construction

Alexei Yu. Uteshev, Ivan Baravy|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2016

Mathematical functions and polynomials被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于插值数据加权和导出的Hankel多项式求解多项式与有理函数插值问题的新方法。通过利用雅可比19世纪的行列式恒等式与Berlekamp-Massey算法，该方法实现了插值多项式的高效计算，并为多项式系统中的误差校正与结式计算提供了稳健的框架。

ABSTRACT

We treat the interpolation problem $ \\{f(x_j)=y_j\\}_{j=1}^N $ for polynomial and rational functions. Developing the approach by C.Jacobi, we represent the interpolants by virtue of the Hankel polynomials generated by the sequences $ \\{\\sum_{j=1}^N x_j^ky_j/W^{\\prime}(x_j) \\}_{k\\in \\mathbb N} $ and $ \\{\\sum_{j=1}^N x_j^k/(y_jW^{\\prime}(x_j)) \\}_{k\\in \\mathbb N} $; here $ W(x)=\\prod_{j=1}^N(x-x_j) $. The obtained results are applied for the error correction problem, i.e. the problem of reconstructing the polynomial from a redundant set of its values some of which are probably erroneous. The problem of evaluation of the resultant of polynomials $ p(x) $ and $ q(x) $ from the set of values $ \\{p(x_j)/q(x_j) \\}_{j=1}^N $ is also tackled within the framework of this approach.

研究动机与目标

• 开发一种基于插值数据生成的Hankel多项式求解多项式与有理函数插值问题的系统性方法。
• 通过利用雅可比行列式恒等式的递归算法，实现插值多项式的高效计算。
• 通过从冗余且可能受损的数据集中重构多项式，解决误差校正问题。
• 利用有理函数值导出的Hankel行列式计算两个多项式的结式。
• 将经典插值方法扩展至处理多项式系统中的符号参数与退化情形。

提出的方法

• 利用插值节点与取值导出的序列构造Hankel多项式：$\tau_k = \sum_{j=1}^N y_j \frac{x_j^k}{W'(x_j)}$ 与 $\widetilde{\tau}_k = \sum_{j=1}^N \frac{1}{y_j} \frac{x_j^k}{W'(x_j)}$，其中 $W(x) = \prod_{j=1}^N (x - x_j)$。
• 利用递归恒等式 $A_k \mathcal{H}_{k-2}(x) + (B_k - x)\mathcal{H}_{k-1}(x) + \frac{1}{A_k}\mathcal{H}_k(x) \equiv 0$ 实现Hankel多项式的高效计算。
• 应用Berlekamp-Massey算法计算最小多项式，并对分子与分母次数不同的有理函数进行插值。
• 将两个多项式 $p(x)$ 与 $q(x)$ 的结式表示为阶数为 $n$ 的Hankel行列式 $H_n(\{\widetilde{\tau}\})$，从而支持符号参数分析。
• 利用Hankel子式类似结式性质，通过涉及Hankel系数的有理表达式恢复 $p(x)$ 与 $q(x)$ 的公共根。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地从插值数据构造Hankel多项式，以求解多项式与有理函数插值问题？
• RQ2 Hankel行列式的递归结构能否被有效利用，以高效计算插值多项式，尤其是在存在冗余或受损数据的情况下？
• RQ3 能否直接从函数值计算两个多项式的结式，而无需显式因式分解？
• RQ4 在何种条件下，可利用基于Hankel的方法从受损且冗余的值集中恢复多项式？
• RQ5 在符号参数设定下，如何利用Hankel行列式及其子式重构两个多项式的公共根？

主要发现

• Hankel多项式构造为多项式与有理函数插值提供了统一框架，其显式公式源自雅可比行列式恒等式。
• 通过Berlekamp-Massey算法递归计算Hankel多项式，可高效求解大规模数据集下的插值问题。
• 在误差校正问题中，当部分值受损但 $x$-节点正确时，该方法能成功从 $N$ 个值中重构出次数满足 $n < N-1$ 的多项式。
• 两个多项式 $p(x)$ 与 $q(x)$ 的结式表示为Hankel行列式 $H_3(\{\widetilde{\tau}\})$，其在 $p(x)$ 与 $q(x)$ 具有公共根时精确为零。
• 在例6.2中，结式被符号化计算，发现当 $\alpha = -9$ 时，存在公共零点 $\lambda = 2 - \sqrt{3}$，展示了该方法在参数依赖系统中的实用性。