[论文解读] Solution of the Cauchy problem for the Navier - Stokes and Euler equations

A. Tsionskiy, Mikhail Tsionskiy|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2010

Navier-Stokes equation solutions参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文提出了一种新颖的迭代解析解法，用于在二维和三维空间中求解纳维-斯托克斯方程和欧拉方程的柯西问题，采用傅里叶变换和拉普拉斯变换。通过将非线性项通过迭代格式重新表述，并在频域和时域中求解相应的线性方程，作者推导出收敛的级数解，并通过数值方法验证，结果表明在物理上一致的初始条件和外力作用下，解具有光滑且衰减的特性。

ABSTRACT

Some known results regarding the Euler and Navier-Stokes equations were obtained by different authors. Existence and smoothness of the Navier-Stokes solutions in two dimensions have been known for a long time. Leray $\cite{jL34}$ showed that the Navier-Stokes equations in three space dimensions have a weak solution. Scheffer and Shnirelman obtained weak solution of the Euler equations with compact support in spacetime. Caffarelli-Kohn-Nirenberg improved Scheffer's results, and F.-H. Lin simplified the proof of the results of J. Leray. Many problems and conjectures about the behavior of solutions of the Euler and Navier-Stokes equations are described in the book of Bertozzi and Majda or Constantin. Solutions of the Navier-Stokes and Euler equations with initial conditions (Cauchy problem) for two and three dimensions are obtained in the convergence series form by the iterative method using the Fourier and Laplace transforms in this paper. For several combinations of problem parameters numerical results were obtained and presented as graphs.

研究动机与目标

• 开发一种系统性的解析方法，用于求解在 R^N (N=2,3) 中纳维-斯托克斯方程和欧拉方程的柯西问题。
• 基于傅里叶变换和拉普拉斯变换的迭代方法，建立解的存在性与光滑性。
• 在无穷远处具有物理上合理的衰减条件下，为速度场和压力场提供收敛的级数解。
• 对不同粘性系数和外力参数进行数值验证，展示解的稳定性和收敛性。

提出的方法

• 通过在方程中加减非线性对流项，将非线性项在每次迭代中重新归入强迫项。
• 迭代格式定义了一组线性偏微分方程，其中第 j 步的强迫项依赖于前一步的速度场：f_j = f - (u_{j-1}·∇)u_{j-1}。
• 对空间变量应用傅里叶变换，将偏微分方程转化为每个傅里叶模态的时间常微分方程，从而简化求解过程。
• 随后对时间变量应用拉普拉斯变换，将常微分方程转化为拉普拉斯域中的代数方程。
• 在拉普拉斯-傅里叶域中对解进行解析与数值反演，以重建时域中的速度场和压力场。
• 通过 (5) 和 (6) 所规定的初始数据和强迫项的衰减条件，确保级数解的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用变换方法，为 R^2 和 R^3 中纳维-斯托克斯方程的柯西问题构造出收敛的解析解？
• RQ2 该基于变换的线性方程的迭代格式如何处理纳维-斯托克斯方程的非线性性？
• RQ3 在不同粘性系数和外部强迫参数下，解的行为如何？其是否保持光滑且衰减？
• RQ4 该方法能否推广至欧拉方程（ν=0）并得到物理解释合理的解？
• RQ5 对于不同参数组合，该级数解的数值精度和收敛速率如何？

主要发现

• 该迭代方法在二维和三维空间中均能为纳维-斯托克斯方程和欧拉方程生成收敛的级数解。
• 对于 N=2 的情形，采用二维傅里叶变换和拉普拉斯变换求解，给出了变换域中速度场和压力场的显式表达式。
• 数值结果展示了不同粘性系数（ν = 0.75, 1, 1.5）和外力振幅（F_k = 0.2 至 1）下的稳定、衰减的解，随时间演化表现良好。
• 图 5.1.1 至 5.1.15 展示了不同 N 值和参数组合下速度分量的时间演化，证实了解的光滑性和有界性。
• 该方法通过迭代重新定义强迫项，成功处理了非线性项，确保每一步求解的均为具有已知初始条件的线性偏微分方程。
• 解满足不可压缩条件（div u = 0），并在空间无穷远处衰减至零，与物理预期一致。