[论文解读] Solution of the Gardner problem on the lock-in range of phase-locked loop

Н. В. Кузнецов, Г. А. Леонов+2 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2017

Advancements in PLL and VCO Technologies参考文献 36被引用 5

一句话总结

本文针对Floyd Gardner在1966年提出的关于二阶压控振荡器（PLL）中唯一锁定频率与锁定范围的长期悬而未决问题，提供了严格的数学解法。通过在圆柱形相空间上采用非线性分析与李雅普诺夫函数方法，推导出带有超前-滞后与有源PI滤波器的PLL的精确锁定范围估计，实现了在Costas环和光通信系统等应用中对锁定范围的精确计算。

ABSTRACT

The lock-in frequency and lock-in range concepts were introduced in 1966 by Floyd Gardner to describe the frequency differences of phase-locked loop based circuit for which the loop can acquire lock within one beat, i.e. without cycle slipping. These concepts became popular among engineering community and were given in various engineering publications. However rigorous mathematical explanations these concepts turned out to be a challenging task, thus, in the 2nd edition of Gardner's well-known work, Phaselock Techniques, he wrote that "despite its vague reality, lock-in range is a useful concept" and posed the problem "to define exactly any unique lock-in frequency". In this paper an effective solution for Gardner's problem on the unique definition of the lock-in frequency and lock-in range is discussed. The lock-in range and lock-in frequency computation is explained on the example of classical second-order PLL with lead-lag and active proportional-integral filters. The obtained results can also be used for the lock-in range computation of such PLL-based circuits as two-phase PLL, two-phase Costas loop, BPSK Costas loop, and optical Costas loop, used in intersatellite communication.

研究动机与目标

• 解决自Gardner 1966年提出以来，关于相位锁定环中锁定频率与锁定范围定义模糊的问题。
• 为确定唯一锁定频率与范围提供数学上严谨的框架，解决工程文献中缺乏正式定义的问题。
• 实现对实际PLL电路（包括两相PLL、Costas环与光Costas环）中锁定范围的精确计算。
• 通过在圆柱形相空间中分析分隔线与相平面技术，克服以往方法在周期滑移与瞬态行为分析上的局限性。
• 将分析扩展至超前-滞后与有源PI滤波器配置，通过依赖参数的图示实现可扩展结果。

提出的方法

• 将带有正弦型鉴相器的经典二阶PLL建模为圆柱形相空间上的非线性动力系统。
• 应用李雅普诺夫函数技术以界定状态轨迹，将分析限制在有界区域，从而实现稳定性与吸引子分析。
• 利用相平面分析与数值计算，识别出将导致周期滑移的初始条件与实现无滑移锁定的初始条件分隔的分隔线。
• 采用时间重参数化方法，将系统简化为仅依赖于两个关键参数 $ K_{\rm vco}\tau_1 $ 与 $ \tau_2/\tau_1 $ 的标准形式，从而简化分析。
• 构建锁定频率图（图9、10、11、13），作为 $ \tau_2/\tau_1 $ 与 $ K_{\rm vco}\tau_1 $ 的函数，实现锁定范围的直接查表。
• 推导出变换规则，将归一化模型的结果扩展至具有任意增益参数 $ K_p $、$ K_{\rm pd} $ 与 $ K_{\rm vco} $ 的实际PLL。

实验结果

研究问题

• RQ1 在先前定义被认为模糊的前提下，相位锁定环中锁定频率的精确数学定义是什么？
• RQ2 如何严格计算锁定范围，同时考虑初始条件与周期滑移的可能性？
• RQ3 环路滤波器参数 $ \tau_1 $、$ \tau_2 $ 与 $ K_{\rm vco} $ 在确定锁定范围中起到何种作用？
• RQ4 在具有超前-滞后与有源PI滤波器的二阶PLL中，锁定范围与捕捉范围如何比较？
• RQ5 该结果能否推广至其他基于PLL的系统，如Costas环与光通信系统？

主要发现

• 数值图示（图13）证实，对于相同PLL配置，锁定范围严格小于捕捉范围。
• 对于超前-滞后滤波器，锁定频率计算为 $ \omega_{\text{lock-in}}(\tau_2/\tau_1, K_{\rm vco}\tau_1) $，其值可通过图9与图10中纵坐标乘积与 $ K_{\rm vco} $ 的乘积获得。
• 对于有源PI滤波器，锁定频率按 $ 1/K_p $ 缩放，公式为 $ \omega_{\text{lock-in}}(\tau_2, K_pK_{\rm pd}K_{\rm vco}/\tau_1)/K_p $，从而可应用于一般PLL。
• 采用李雅普诺夫函数 $ V(x) = \frac{\tau_1}{2}x^2 $ 确保状态变量 $ x $ 有界，限制了关注区域，从而支持相平面分析。
• 图12中的相图显示，自由运行频率 $ \omega_{\rm{free}} $ 增大时，锁定范围缩小，与分隔线的存在一致。
• 该方法成功解决了锁定行为中的隐藏振荡与非唯一性问题，为PLL工程设计提供了稳健的理论框架。