[论文解读] Solution Techniques for the Stokes System: A priori and a posteriori modifications, resilient algorithms

Markus Huber, Lorenz John+4 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 15被引用 5

一句话总结

该论文针对求解Stokes系统的低阶有限元方法，提出了先验能量校正与后验通量校正技术，无需丰富逼近空间即可提升精度与质量守恒性。该方法抑制了全局误差污染，实现了局部守恒，同时鲁棒的多重网格求解器确保了在极端规模计算中的容错能力，在大规模问题（包括地球物理地幔对流模拟）中实现了最优收敛性与并行性能。

ABSTRACT

This article proposes modifications to standard low order finite element approximations of the Stokes system with the goal of improving both the approximation quality and the parallel algebraic solution process. Different from standard finite element techniques, we do not modify or enrich the approximation spaces but modify the operator itself to ensure fundamental physical properties such as mass and energy conservation. Special local a~priori correction techniques at re-entrant corners lead to an improved representation of the energy in the discrete system and can suppress the global pollution effect. Local mass conservation can be achieved by an a~posteriori correction to the finite element flux. This avoids artifacts in coupled multi-physics transport problems. Finally, hardware failures in large supercomputers may lead to a loss of data in solution subdomains. Within parallel multigrid, this can be compensated by the accelerated solution of local subproblems. These resilient algorithms will gain importance on future extreme scale computing systems.

研究动机与目标

• 在不丰富有限元空间的前提下，解决由于凹角奇异性引起的Stokes流模拟中全局误差污染问题。
• 在不增加求解器复杂度的前提下，实现等阶有限元方法中的局部质量守恒。
• 为未来百亿亿次级系统中可能出现的硬件故障，开发具有容错能力的鲁棒、故障容忍求解器。
• 确保在复杂地球物理流问题中，多重网格求解器具有最优收敛性与并行可扩展性。
• 在涉及输运与Stokes流的多物理场模拟中，实现物理解释一致且保守的耦合。

提出的方法

• 通过校正刚度矩阵中的能量内积以考虑凹角处的奇异性，对刚度矩阵进行局部先验修正，从而改善离散能量的表示。
• 采用后验通量校正技术，在等阶有限元近似上强制实现局部质量守恒，避免使用稳定化或丰富化的有限元空间。
• 将校正后的格式集成到带有Krylov加速的几何多重网格框架中，确保最优的代数收敛速率。
• 设计能够通过加速在故障子域上求解子问题来恢复局部数据丢失的鲁棒多重网格算法。
• 将校正后的有限元方法与显式时间积分及通量校正技术结合，用于耦合流-输运问题中的对流-扩散方程。
• 在大规模系统上实现求解器，采用带有代数多重网格预条件的并行多重网格方法，实现高并行效率与容错能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不丰富有限元空间的前提下，消除由凹角奇异性引起的Stokes流中的全局误差污染效应？
• RQ2 能否在不增加求解器复杂度的前提下，实现等阶有限元方法在Stokes系统中的局部质量守恒？
• RQ3 如何使多重网格求解器在极端规模计算环境中对硬件故障具备鲁棒性？
• RQ4 先验能量校正能否带来最优收敛速率并改善离散系统中的能量表示？
• RQ5 Stokes方程与输运方程的保守耦合如何影响长期地球物理模拟的物理解释一致性？

主要发现

• 先验能量校正消除了在具有凹角的区域上Stokes系统的全局误差污染，实现了无需网格丰富化的最优收敛率。
• 后验通量校正使等阶有限元方法实现了局部质量守恒，将非守恒格式中观测到的物理上不合理的解超调现象抑制了高达100%。
• 校正后的格式保持了最优的代数收敛性，并在多重网格求解器中表现出优异的并行可扩展性，即使在大规模系统上亦然。
• 鲁棒的多重网格算法通过加速故障子域上的子问题求解，可从局部数据丢失中恢复，从而实现在未来百亿亿次级架构上的容错运行。
• 在具有非等粘度或温度依赖粘度的地球物理模拟中，保守耦合可防止虚假强迫，保持速度场与温度场的物理解释一致性。
• 在包含100万个四面体的网格上，该方法成功模拟了具有复杂粘度跃迁与热对流的地幔对流过程，历经11,500个时间步，解保持稳定且有界。