[论文解读] Solutions around a Regular α Singular Point of a Sequential Conformable Fractional Differential Equation

Emrah Ünal, Ahmet Gökdoğan+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文针对在正则 α-奇点处的变系数二阶连续 conformable 分数阶微分方程，发展了幂级数解法。通过将适用于 conformable 分数阶微积分的广义 Frobenius 方法进行调整，作者推导出系数的递推关系，并证明至少存在一个以分数幂级数形式表示的基本解，从而将经典 Frobenius 理论扩展至 conformable 分数阶设定。

ABSTRACT

In this work, the power series solutions are given around a regular-singular point, in the case of variable coefficients for homogeneous sequential linear conformable fractional differential equations of order 2α.

研究动机与目标

• 将经典 Frobenius 方法推广至具有变系数的 conformable 分数阶微分方程。
• 在连续 conformable 分数阶导数的背景下，分析解在正则 α-奇点附近的性质。
• 为在分数阶设定下计算幂级数解建立系统化方法。
• 确立在何种条件下可存在以分数幂级数形式表示的基本解。

提出的方法

• 将经典 Frobenius 方法适配至 α 阶 conformable 分数阶导数。
• 假设在正则 α-奇点处存在形式幂级数解，其系数未知。
• 将该级数代入二阶 2α 阶齐次连续 conformable 分数阶微分方程。
• 通过比较自变量的幂次，推导出系数的递推关系。
• 分析指标方程，以确定级数解可能的首项指数。
• 在系数满足适当条件时，证明所得幂级数的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Frobenius 方法推广，以求解具有变系数的连续 conformable 分数阶微分方程？
• RQ2 在 conformable 分数阶框架下，何种条件可确保在正则 α-奇点处存在幂级数解？
• RQ3 指标方程的结构如何？其在确定解的首项中的作用是什么？
• RQ4 系数的递推关系与经典 ODE 中的有何不同？
• RQ5 在 conformable 设定下，分数幂级数解的收敛行为如何？

主要发现

• 对于给定方程类，在正则 α-奇点的邻域内存在幂级数解。
• 指标方程确定了解可能的首项指数，将经典指标方程推广至 conformable 情形。
• 推导出系数的递推关系，从而可系统化地计算级数各项。
• 至少可构造一个基本解为分数幂级数形式，将经典结果扩展至 conformable 分数阶设定。
• 该方法在保留 Frobenius 方法结构的同时，适应了非整数阶及连续 conformable 导数的特性。
• 在变量系数满足标准解析性条件时，级数解的收敛性得以保证。