[论文解读] Solutions by radicals at singular values k_N from new class invariants for N \equiv 3 mod 8

David Broadhurst|ArXiv.org|Jul 18, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 10

一句话总结

本文提出了一种新方法，用于以根式表达 $k_N$，其中 $N \equiv 3 \pmod{8}$ 且 $N$ 为无平方因子且与 3 互素的整数，方法基于 $ℝ(\sqrt{-N})$ 的希爾伯特类域中的新一类不变量 $[f,g]$。该方法引入了一个具有指数增长 $g = \alpha(N)\exp(\pi\sqrt{N}/48) + o(1)$ 的高效生成元 $g$，并对 $N = 2317723$（类数为 105）在 90 毫秒内计算出 $g$ 的最小多项式，优于 Pari-GP 双 eta-quotient 方法。

ABSTRACT

For square-free $N\equiv3$ mod 8 and $N$ coprime to 3, I show how to reduce the singular value $k_N$ to radicals, using a novel pair $[f,g]$ of real numbers that are algebraic integers of the Hilbert class field of $Q(\sqrt{-N})$. One is a class invariant of modular level 48, with a growth $g=α(N)\exp(π\sqrt{N}/48)+o(1)$, where $α(N)\in[-\sqrt2,\sqrt2]$ is uniquely determined by the residue of $N$ modulo 64. Hence $g$ is a very economical generator of the class field. For prime $N\equiv3$ mod 4, I conjecture that the Chowla--Selberg formula provides an algebraic {\em unit} of the class field and determine its minimal polynomial for the 155 cases with $N<2000$. For N=2317723, with class number $h(-N)=105$, I compute the minimal polynomial of $g$ in 90 milliseconds. Its height is smaller than the {\em cube} root of the height of the generating polynomial found by the double eta-quotient method of {\em Pari-GP}. I reduce the complete elliptic integral $K_{2317723}$ to radicals and values of the $Γ$ function, by determining the Chowla--Selberg unit and solving the septic, quintic and cubic equations that generate sub-fields of the class field. I conclude that the residue 3 modulo 8, initially discarded in elliptic curve primality proving, outperforms the residue 7.

研究动机与目标

• 开发一种新方法，利用 $ℝ(\sqrt{-N})$ 的希爾伯特类域中的代数整数，以根式表达 $N \equiv 3 \pmod{8}$ 时的奇异值 $k_N$。
• 构造一对新的类不变量 $[f,g]$，其生成希爾伯特类域的效率高于现有方法，特别是优于 Pari-GP 中的 quadhilbert 过程。
• 验证并计算大类数（如 $h(-2317723) = 105$）下类不变量 $g$ 的最小多项式，确认其在生成类域方面的效率。
• 研究 Chowla–Selberg 公式在识别 $N \equiv 3 \pmod{4}$ 为素数时希爾伯特类域中代数单位的作用，并通过高精度计算确认这些单位。

提出的方法

• 本文使用一对新颖的实代数整数 $[f,g]$ 作为类不变量，其中 $g$ 是模 48 的类不变量，其增长为 $g = \alpha(N)\exp(\pi\sqrt{N}/48) + o(1)$，且 $\alpha(N) \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ 由 $N \mod 64$ 决定。
• 应用 Chowla–Selberg 公式，将 $\Gamma$-函数乘积 $G_N$ 表示为判别式为 $-N$ 的二元二次型等价类上的戴德金 eta 函数，从而在无需计算 $N$ 个独立 $\Gamma$-函数值的情况下实现对 $G_N$ 的高精度评估。
• 对于素数 $N \equiv 3 \pmod{4}$，本文推测 $\lambda = \prod_{[a,b,c] \in H} a^{1/4} \left| \frac{\eta((1+\sqrt{-N})/2)}{\eta((b+\sqrt{-N})/(2a))} \right|$ 是希爾伯特类域中的代数单位，并在 $N < 2000$ 的 155 种情况下通过数值计算验证至 15,000 位小数。
• 使用高精度算术（最高达 40,000 位）计算 $g$ 的最小多项式，并通过 Pari-GP 脚本验证，其中 $N = 2317723$ 的多项式在 90 毫秒内计算完成。
• 通过求解源自类域结构的七次、五次和三次子域方程，将 $K_N$（完全椭圆积分）化为根式与 $\Gamma$-函数的组合。
• 本文以双 eta-quotient 方法为基准，表明新不变量 $g$ 生成的最小多项式高度小于 Pari-GP 方法所得多项式高度的立方根，证实其在域生成方面具有更高的经济性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个模 48 的新类不变量 $g$，以高效生成 $ℝ(\sqrt{-N})$ 的希爾伯特类域，其中 $N \equiv 3 \pmod{8}$？
• RQ2 Chowla–Selberg 公式是否能为素数 $N \equiv 3 \pmod{4}$ 生成希爾伯特类域中的代数单位 $\lambda$，并能通过高精度数值计算验证？
• RQ3 对于类数为 105 的 $N = 2317723$，能否在一秒内计算出类不变量 $g$ 的最小多项式，且其高度是否显著低于现有方法？
• RQ4 与 Pari-GP 的 quadhilbert 过程相比，新类不变量 $g$ 在最小多项式高度方面是否更具效率？
• RQ5 模 64 的剩余 $N \mod 64$ 在确定 $g$ 的渐近展开中系数 $\alpha(N)$ 的作用是什么？

主要发现

• 对于 $h(-N) = 105$ 的 $N = 2317723$，类不变量 $g$ 的最小多项式在 90 毫秒内计算完成，展示了极高的计算效率。
• 与 Pari-GP 双 eta-quotient 方法生成的多项式相比，$g$ 的最小多项式高度小于其立方根，证实了其在域生成方面更高的经济性。
• 在 155 个 $N < 2000$ 的情况下，Chowla–Selberg 单位 $\lambda$ 已通过数值方法验证至 15,000 位小数，其最小多项式为首一多项式且常数项为 $-1$，确认其为代数单位。
• 对于 $N = 2317723$，$\lambda$ 在 40,000 位精度下被验证，确认其代数性质及域生成能力。
• 本文表明，模 8 余 3 的情形在椭圆曲线素性证明中优于模 8 余 7 的情形，因为新类不变量能产生更高效的域生成元。
• 对于 $N = 2317723$，$g$ 的最小多项式已显式计算并包含在补充文件中，且通过 Pari-GP 脚本提供了验证。