[论文解读] Solutions of diophantine equations as periodic points of $p$-adic algebraic functions, II: The Rogers-Ramanujan continued fraction

Patrick Morton|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2018

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一句话总结

本文证明了五次丢番图方程 $X^5 + Y^5 = \varepsilon^5(1 - X^5Y^5)$ 的解，其中 $\varepsilon = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$，在特定的虚二次域 $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ 的阿贝尔扩张中，其解由罗杰斯-拉马努金连分数 $r(\tau)$ 在复乘点处的取值所给出，且这些取值是某个固定的 $5$-进代数函数的周期点，从而将类域论与模函数及 $p$-进动力系统联系起来。

ABSTRACT

In this part we show that the diophantine equation $X^5+Y^5=\varepsilon^5(1-X^5Y^5)$, where $\varepsilon=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$, has solutions in specific abelian extensions of quadratic fields $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ in which $-d \equiv \pm 1$ (mod $5$). The coordinates of these solutions are values of the Rogers-Ramanujan continued fraction $r(τ)$, and are shown to be periodic points of an algebraic function.

研究动机与目标

• 建立五次丢番图方程 $X^5 + Y^5 = \varepsilon^5(1 - X^5Y^5)$ 的解与某个固定 $5$-进代数函数的周期点之间的对应关系。
• 证明这些解的坐标是罗杰斯-拉马努金连分数 $r(\tau)$ 在虚二次域 $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ 上的射影类域与整环类域中复乘点处的取值，其中 $-d \equiv \pm 1 \pmod{5}$。
• 证明这些 $r(\tau)$ 取值的最小多项式是某个模函数系统迭代结式之不可约因子，从而生成相应的类域。
• 验证所有与 $5$ 互素的导子 $f$ 的整环类域均由该固定 $5$-进代数函数的周期点生成，而导子被 $5$ 整除的类域则由前周期点生成。

提出的方法

• 本文使用罗杰斯-拉马努金连分数 $r(\tau)$，其定义为 $r(\tau) = q^{1/5}/(1 + q/(1 + q^2/(1 + \cdots)))$，其中 $q = e^{2\pi i\tau}$，作为曲线 $\mathcal{C}_5$ 的模参数化。
• 构造有理函数 $j_5(b) = \frac{(1 - 12b + 14b^2 + 12b^3 + b^4)^3}{b^5(1 - 11b - b^2)}$，该函数给出具有五阶点的 Tate 标准型 $E_5(b)$ 的 $j$-不变量，从而将 $b$ 与 $r(\tau)$ 的取值联系起来。
• 使用多项式 $F_d(x) = x^{5h(-d)}(1 - 11x - x^2)^{h(-d)}H_{-d}(j_5(x))$，其中 $H_{-d}$ 是判别式 $-d$ 的类多项式，其根对应于使 $b$-值具有由 $\mathcal{R}_{-d}$ 生成的复乘结构的取值。
• 证明 $F_d(x^5)$ 的不可约因子 $p_d(x)$ 的次数为 $4h(-d)$，其根为 $r(w/5)$ 和 $r(-1/w)$ 的共轭取值，其中 $w \in \mathcal{O}_K$ 满足 $\wp_5^2 \mid w$。
• 将 $5$-进代数函数 $F(z) = \frac{-1 + \sqrt{1 - z^4}}{z^2}$ 推广为 $5$-进类比形式，并证明该函数的周期点可生成 $K$ 上的射影类域与整环类域。
• 该方法采用迭代结式 $\tilde{R}_n(x)$ 计算 $r(w/5)$ 的最小多项式，并利用变换 $\eta \mapsto \eta - 1/\eta$ 通过 $t_d(x)$ 与 $u_d(x)$ 降低次数，从而简化判别式分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 五次丢番图方程 $X^5 + Y^5 = \varepsilon^5(1 - X^5Y^5)$ 的解能否通过虚二次域 $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ 的阿贝尔扩张中罗杰斯-拉马努金连分数 $r(\tau)$ 在复乘点处的取值来参数化？
• RQ2 这些解的坐标是否为某个固定 $5$-进代数函数的周期点，且是否能生成相应的射影类域与整环类域？
• RQ3 对于 $K$ 的整数环中的 $w$，$r(w/5)$ 的最小多项式结构如何？其与迭代结式及类域论有何关联？
• RQ4 模群 $\Gamma(5)$ 与 Hecke 算子 $\tau_5$ 的作用如何影响 $r(w/5)$ 取值的周期性与伽罗瓦结构？
• RQ5 是否可利用最小多项式 $p_d(x)$ 的判别式与因式分解来验证类域的生成，并验证所有此类类域均由单个 $5$-进函数的周期点生成的猜想？

主要发现

• 当 $d \equiv \pm 1 \pmod{5}$ 时，取值 $X = r(w/5)$，$Y = r(-1/w)$ 在 $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ 上的阿贝尔扩张 $\Sigma_5\Omega_f$ 或 $\Sigma_5\Omega_{5f}$ 中满足丢番图方程 $\mathcal{C}_5$，具体取决于 $d = 4f^2$ 是否成立。
• 对于 $r\left(\frac{3 + \sqrt{-491}}{10}\right)$，其最小多项式 $p_{491}(x)$ 的次数为 36，是 $\tilde{R}_3(x)$ 的不可约因子，其判别式为 $D = 2^{316}5^{153}7^{16}19^4 23^8 29^{16}191^8 491^{18}$。
• 次数为 9 的约化多项式 $u_{491}(x)$，其判别式为 $D_1 = 2^{76}7^2 29^4 191^2 491^4$，确认了当 $h(-d) = 9$ 且 $d = 4f^2$ 时，$f = 2^a$，$d = 491$ 是唯一可能的判别式，且 $d$ 不被 2 或 29 整除。
• 取值 $\eta = r\left(\frac{3 + \sqrt{-491}}{10}\right)$ 是 $p_{491}(x)$ 的根，其精度至少达到 60 位小数，验证了构造的数值准确性。
• $\tau_5$ 对 $r(w/5)$ 的伽罗瓦群作用阶为 6，与 $\tau_5^3 = \rho$ 阶为 2 一致，且 $\mathfrak{g}(z)$ 作用下根的周期为 6。
• $p_d(x)$ 受对合 $U(z) = -1/z$ 的作用稳定，从而可简化为 $p_d(x) = x^{2h(-d)} t_d(x - 1/x)$，进一步有 $t_d(x - 1) = x^{h(-d)} u_d(x + 5/x)$，从而得到一个次数为 $h(-d)$ 的多项式 $u_d(x)$，其判别式更小，适用于类域生成。