[论文解读] Solutions of Linear Fractional non-Homogeneous Differential Equations with Jumarie Fractional Derivative and Evaluation of Particular Integrals

Uttam Ghosh, Susmita Sarkar+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2015

Fractional Differential Equations Solutions被引用 2

一句话总结

本文提出了一种新颖方法，利用朱马里的修正黎曼-刘维尔分数阶导数求解线性非齐次分数阶微分方程（FDEs）。通过扩展先前针对齐次FDEs的研究，作者提出了快捷规则，用于计算多项式、指数函数和三角函数等各类激励函数的特解积分，方法基于Mittag-Leffler函数与分数阶正弦/余弦函数。主要贡献在于将分数阶微积分与经典方法相结合，实现了对具有闭式解的分数阶受迫振子的系统求解，结果以特殊函数形式表达。

ABSTRACT

In this paper we describe a method to solve the linear non-homogeneous fractional differential equations (FDE), composed with Jumarie type Fractional Derivative, and describe this method developed by us, to find out Particular Integrals, for several types of forcing functions. The solutions are obtained in terms of Mittag-Leffler functions, fractional sine and cosine functions. We have used our earlier developed method of finding solution to homogeneous FDE composed via Jumarie fractional derivative, and extended this to non-homogeneous FDE. We have demonstrated these developed methods with few examples of FDE, and also applied in fractional damped forced differential equation. This method proposed by us is useful as it is having conjugation with the classical methods of solving non-homogeneous linear differential equations, and also useful in understanding physical systems described by FDE.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，求解具有Jumarie型分数阶导数的线性非齐次分数阶微分方程（FDEs）。
• 通过引入特解积分的计算规则，将作者先前针对齐次FDEs的方法扩展至非齐次情形。
• 建立分数阶微积分与经典方法在求解非齐次微分方程中的共轭关系。
• 展示该方法在建模物理系统中的实用性，特别是分数阶阻尼与受迫振子。
• 为多项式、指数函数和三角函数激励函数提供以Mittag-Leffler函数与分数阶三角函数表示的显式解。

提出的方法

• 该方法采用Jumarie的左向修正黎曼-刘维尔分数阶导数，确保常数的导数为零，从而提升物理一致性。
• 特解积分通过类比经典微积分的算子规则进行计算：将 D^α 替换为 (1/D^α)，并应用代数运算处理逆算子。
• 对于多项式激励函数，方法利用 (1 - D^α)^{-1} 的级数展开，生成涉及广义二项式系数的解。
• 对于指数与三角函数激励项，方法应用替换规则，如将 D^α 替换为 -ia 以处理 cos(at)，从而实现特解积分的直接计算。
• 解以Mittag-Leffler函数 E_α(λt^α)、分数阶正弦与余弦函数表示，确保解析可处理性。
• 通过三个示例验证该方法：二阶非齐次FDE、受迫无阻尼振子与阻尼受迫振子，所有解均以闭式表达式给出。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地计算具有Jumarie分数阶导数的非齐次线性FDEs的特解积分？
• RQ2 是否可将齐次FDEs的解法扩展至非齐次情形，并与经典方法实现共轭？
• RQ3 对于具有多项式、指数与三角函数激励函数的分数阶受迫振子，其闭式解是什么？
• RQ4 Mittag-Leffler函数与分数阶三角函数如何自然地出现在非齐次FDEs的解中？
• RQ5 与标准黎曼-刘维尔或Caputo导数相比，Jumarie导数在多大程度上提升了解的物理解释性？

主要发现

• 该方法成功利用算子代数计算非齐次FDEs的特解积分，结果以Mittag-Leffler函数与分数阶三角函数表示。
• 对于方程 D^2α y + D^α y + 6y = t^5，特解积分被推导为包含Gamma函数与 t^α 幂次的级数，系数为 1/Γ(5/3 + 1)、1/Γ(6/3 + 1) 等。
• 在受迫无阻尼振子 D^2α y + ω^2 y = F cos(at) 中，特解积分表示为 y_p = -F/(a^2 - ω^2) cos(at)，其中将算子 D^α 替换为 -ia，展现出与经典解的直接类比。
• 对于阻尼受迫振子 D^2α y + c D^α y + c^2 y = F cos(at)，特解积分表示为 y_p = F [ (a^2 - c^2) cos(at) + 2ca sin(at) ] / [ (a^2 - c^2)^2 + 4c^2 a^2 ]^{1/2}，以分数阶函数形式表达，显示出与经典共振行为的共轭关系。
• 阻尼情形的一般解将齐次解 E_α(-ct) [A cos(ωt^α) + B sin(ωt^α)] 与所推导的特解积分结合，证实该方法与物理预期的一致性。
• 作者证明，使用Jumarie导数可自然地将经典解法扩展至分数阶系统，在保留经典方法结构的同时融入分数阶动力学特征。