[论文解读] Solutions of local and nonlocal equations reduced from the AKNS hierarchy

Kui Chen, Xiao Deng+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 35被引用 21

一句话总结

本文提出一种系统化约化技术，用于从AKNS谱系推导出局部与非局部方程的精确双Wronskian解，包括非局部版本的NLS、KdV、mKdV和sine-Gordon方程。通过在Wronskian向量上施加约束，该方法可从原始AKNS系统的已知解生成非局部方程的孤立子解，具体示例展示了反时限NLS方程中对称双孤立子动力学，渐近分析证实了孤立子行为。

ABSTRACT

In the paper possible local and nonlocal reductions of the Ablowitz-Kaup-Newell-Suger (AKNS) hierarchy are collected, including the Korteweg-de Vries (KdV) hierarchy, modified KdV hierarchy and their nonlocal versions, nonlinear Schrödinger hierarchy and their nonlocal versions, sine-Gordon equation in nonpotential form and its nonlocal forms. A reduction technique for solutions is employed, by which exact solutions in double Wronskian form are obtained for these reduced equations from those double Wronskian solutions of the AKNS hierarchy. As examples of dynamics we illustrate new interaction of two-soliton solutions of the reverse-$t$ nonlinear Schrödinger equation. Although as a single soliton it is always stationary, two solitons travel along completely symmetric trajectories in $\{x,t\}$ plane and their amplitudes are affected by phase parameters. Asymptotic analysis is given as demonstration. The approach and relation described in this paper are systematic and general and can be used to other nonlocal equations.

研究动机与目标

• 开发一种通用且系统化的方法，用于生成从AKNS谱系导出的非局部可积方程的精确解。
• 将双Wronskian解技术扩展至非局部约化，包括反空间、反时限及反空间-时间对称性。
• 展示多孤立子解的动力学行为，特别是非局部NLS方程中对称双孤立子相互作用。
• 通过谱参数变换与约束结构，建立局部解与非局部解之间的清晰对应关系。
• 提供一个统一框架，适用于除本文研究对象外的其他非局部方程。

提出的方法

• 通过在双Wronskian中的两个基本向量上施加约束，以强制实现非局部关系如 $ r(x,t) = \mp q^*(-x,t) $，确保解满足非局部方程。
• 该方法利用已知的全AKNS谱系的双Wronskian解，并施加保持可积性与可解性的约束。
• 对于sine-Gordon方程，通过合适的积分算子实现非局部约化，将负AKNS谱系的双线性形式转换。
• 该方法利用谱参数约束，关联约化前后离散谱分布，实现解的系统化生成。
• 进行渐近分析以验证孤立子行为，包括相位相关的振幅调制及在 $\{x,t\}$ 平面上的对称轨迹。
• 引入一种变换技巧：在聚焦NLS解中将 $k_j^* \to -k_j^*$ 替换，可得到反空间非聚焦NLS的解，从而实现形式对称性的实际应用。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统化地约化AKNS谱系的双Wronskian解，以获得非局部可积方程的精确解？
• RQ2 对Wronskian向量施加何种约束，可确保约化解满足非局部对称性，如 $ r(x,t) = \mp q^*(-x,t) $？
• RQ3 在反时限非局部NLS方程中，双孤立子相互作用如何表现，特别是轨迹对称性与相位参数相关的振幅依赖性？
• RQ4 该约化框架是否可应用于推导KdV、mKdV与sine-Gordon方程的非局部版本的解？
• RQ5 谱参数变换（如 $k_j^* \to -k_j^*$）在连接局部与非局部解中起什么作用，其与文献中形式对称性的关系为何？

主要发现

• 通过在原始AKNS谱系解上施加约束，成功推导出非局部NLS、KdV、mKdV与sine-Gordon方程的精确双Wronskian解。
• 反时限NLS方程的双孤立子解在 $\{x,t\}$ 平面上表现出完全对称的轨迹，尽管单个孤立子静止，其振幅仍受相位参数调制。
• 渐近分析证实双孤立子相互作用保持孤立子特性，轨迹趋近于直线，相位按可积系统预期发生偏移。
• 在谱参数中将 $k_j^* \to -k_j^*$ 的变换提供了一种实用方法，可从聚焦NLS解生成非局部非聚焦NLS解，从而验证了形式对称性。
• 该方法具有通用性与系统性，可适用于本文未涵盖的其他非局部方程，为从AKNS谱系构建解提供统一方法。
• 对于sine-Gordon方程，通过双线性形式中的积分算子导出其非局部版本，其解的动力学行为与标准mKdV方程相似。