[论文解读] Solutions of the fractional Schrödinger equation via diagonalization - A plea for the harmonic oscillator basis part 1: the one dimensional case

Richard Herrmann|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 36被引用 1

一句话总结

该论文提出了一种基于谐振子基的矩阵力学方法，用于求解分数阶薛定谔方程，实现了对Riesz分数阶导数的非局部动能矩阵元的解析计算。关键贡献在于获得了这些矩阵元的闭式表达式，并发现了广义分数阶宇称对称性，使特定情况下的计算复杂度降低了16倍，揭示了动能与势能矩阵关系中的意外简化。

ABSTRACT

A covariant non-local extention if the stationary Schrödinger equation is presented and it's solution in terms of Heisenbergs's matrix quantum mechanics is proposed. For the special case of the Riesz fractional derivative, the calculation of corresponding matrix elements for the non-local kinetic energy term is performed fully analytically in the harmonic oscillator basis and leads to a new interpretation of non local operators in terms of generalized Glauber states. As a first application, for the fractional harmonic oscillator the potential energy matrix elements are calculated and the and the corresponding Schrödinger equation is diagonalized. For the special case of invariance of the non-local wave equation under Fourier-transforms a new symmetry is deduced, which may be interpreted as an extension of the standard parity-symmetry.

研究动机与目标

• 开发一种系统化的矩阵力学框架，用于在一维情况下求解分数阶薛定谔方程。
• 解决由分数阶导数（特别是Riesz定义）引起的非局部动能项带来的挑战。
• 证明谐振子基能够精确处理弱奇点和长程核函数。
• 揭示分数阶量子谐振子中隐藏的对称性，尤其是广义宇称不变性。
• 为分数阶量子力学提供可重用的高精度计算基础，包括微扰理论中的潜在应用。

提出的方法

• 采用海森堡的矩阵力学形式化分数阶薛定谔方程，哈密顿量表示为非局部动能算符与局部势能算符之和。
• 在谐振子基 |n⟩ 下，通过正交性及切比雪夫多项式已知性质，解析计算矩阵元 ⟨m|ˆp²α|n⟩。
• 引入广义Glauber态表示，将非局部算符解释为相干态的叠加。
• 应用傅里叶不变性条件，推导出一种新的四次对称性，通过坐标空间中的90°旋转将标准宇称推广至复相位。
• 通过利用级数展开中的对称性与抵消模式，推导出动能矩阵元的紧凑闭式表达式。
• 通过基于 |m−n|/2 奇偶性的符号规则，建立动能与势能矩阵元之间的直接关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在谐振子基中利用矩阵力学高效求解分数阶薛定谔方程？
• RQ2 在Riesz分数阶导数下，分数阶量子谐振子中会涌现出何种对称性？
• RQ3 如何对任意分数阶次的非局部动能矩阵元进行解析计算？
• RQ4 在分数阶情况下，动能与势能矩阵元之间存在何种关系？是否导致简化？
• RQ5 由傅里叶不变性导出的广义对称性能否被解释为量子力学中标准宇称的推广？

主要发现

• 分数阶薛定谔方程的矩阵表示通过将非局部动能与势能解耦，实现了高精度求解，使预计算的矩阵元可在不同势能下重复使用。
• 对于Riesz分数阶导数，动能矩阵元具有闭式解析表达式，显著降低了计算成本。
• 识别出一种新的广义分数阶宇称对称性，对应于坐标空间中的90°旋转，产生四重相位序列 {i, −1, −i, 1}，使特定量子数模式下的计算工作量减少16倍。
• 该对称性条件导致显著简化：⟨m|T(α)|n⟩ = ±⟨m|V(α)|n⟩，取决于 |m−n|/2 的奇偶性，从而可直接从势能矩阵元计算动能矩阵元。
• 该方法揭示了误差图中的“灯塔”现象——在 α = 2n 和 p = 2m 的偶数位置，精度显著提升，表明具有强大的数值稳定性。
• 该方法为分数阶导数提供了物理诠释：即作为广义Glauber态的叠加，将分数阶微积分与量子光学态联系起来。