[论文解读] Solutions of the Gross-Pitaevskii and time-fractional Gross-Pitaevskii equations for different potentials with Homotopy Perturbation Method

Neslihan Üzar, Dong Han+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2012

Strong Light-Matter Interactions参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文提出了一种时间分数阶 Gross-Pitaevskii 方程，用于模拟玻色-爱因斯坦凝聚体中的非马尔可夫动力学，采用同伦摄动法（HPM）求解零势和光晶格势下的方程。主要发现是，解表现出通过 Mittag-Leffler 函数描述的拉伸指数时间演化，表明存在偏离标准指数弛豫的记忆效应。

ABSTRACT

In this study, after we have briefly introduced the standard Gross-Pitaevskii equation, we have suggested fractional Gross-Pitaevskii equations to investigate the time-dependent ground state dynamics of the Bose-Einstein condensation of weakly interacting bosonic particle system which can includes non-Markovian processes or non-Gaussian distributions and long-range interactions. Only we focused the time-fractional Gross-Pitaevskii equation and have obtained solutions of the standard Gross-Pitaevskii and time-fractional Gross-Pitaevskii equations for attractive and repulsive interactions in the case external trap potentials $V(x)=0$ and optical lattice potential $V(x) =\pm\sin^{2}x$ by using Homotopy Perturbation Method. We have found that the Homotopy Perturbation Method solutions of the Gross-Pitaevskii equation for these potentials and interactions are the same analytical results of it. Furthermore we have also found that solutions of the time-fractional Gross-Pitaevskii equation for these potentials and interactions can be given in terms of Mittag-Leffler function. The solutions of the time-fractional Gross-Pitaevskii equation provide that the time evolution of the ground state dynamics of Bose-Einstein condensation of bosonic particles deviates exponential form, and evolutes with time as stretched exponentially.

研究动机与目标

• 为解决理论预测与实验观测中玻色-爱因斯坦凝聚转变温度之间的差异。
• 利用分数阶微积分，将非马尔可夫过程、长程相互作用和分形结构纳入玻色-爱因斯坦凝聚动力学的描述。
• 在不同外部势下，为时间分数阶 Gross-Pitaevskii 方程开发解析解。
• 验证同伦摄动法作为求解量子多体系统中非线性分数阶偏微分方程的可靠工具。
• 探讨分数阶参数 α 对弱相互作用玻色子系统基态动力学的影响。

提出的方法

• 采用 Caputo 分数阶导数构建时间分数阶 Gross-Pitaevskii 方程，以描述玻色子系统中的记忆效应。
• 将同伦摄动法（HPM）应用于求解排斥和吸引相互作用下的整数阶与分数阶 Gross-Pitaevskii 方程。
• 针对两种外部势求解：V(x) = 0（自由空间）和 V(x) = ±sin²x（光晶格）。
• 该方法构建一个同伦，将原始非线性方程变形为更简单的形式，从而实现迭代求解。
• 解以 Mittag-Leffler 函数表示，捕捉了分数阶动力学特有的拉伸指数时间演化特征。
• 通过不同 α 值下波函数演化的数值分析，确认了 HPM 系列解的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 与标准整数阶方程相比，时间分数阶 Gross-Pitaevskii 方程在描述玻色-爱因斯坦凝聚体动力学方面有何改进？
• RQ2 分数阶参数 α 和 Mittag-Leffler 函数在多大程度上影响凝聚体波函数的时间演化？
• RQ3 同伦摄动法能否在不同势和相互作用类型下可靠地生成时间分数阶 Gross-Pitaevskii 方程的解析解？
• RQ4 在分数阶与整数阶情况下，排斥与吸引相互作用的解有何不同？
• RQ5 外部势（V(x) = 0 和 V(x) = ±sin²x）对凝聚体的非马尔可夫动力学有何影响？

主要发现

• HPM 求得的标准（整数阶）Gross-Pitaevskii 方程解，与 V(x) = 0 和 V(x) = ±sin²x 情况下的已知解析解一致，证实了该方法的可靠性。
• 时间分数阶 Gross-Pitaevskii 方程的解以 Mittag-Leffler 函数表示，表明其具有拉伸指数时间演化特征。
• 当 α < 1 时，波函数演化显著偏离指数衰减，表现出依赖记忆的动力学行为，且在长时间尺度下更为明显。
• 波函数 ψ^α_g<0(x,t) 的实部和虚部对所有 α 值均表现出振荡行为，但在 α → 0 或 t → 0 的极限下趋于稳定态。
• 分数阶参数 α 对长时间波函数有显著影响，α = 0.5 与 α = 1.0 在解的时间演化中表现出明显差异。
• 时间分数阶 GP 方程能够捕捉非马尔可夫效应，表明分数阶动力学可能解释真实玻色子系统中理论与实验临界温度之间的差异。