[论文解读] Solutions of the Schrödinger equation given by solutions of the Hamilton--Jacobi equation

G. F. Torres del Castillo, Citlalli Teresa Sosa-Sánchez|arXiv (Cornell University)|May 12, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用 3

一句话总结

本文通过要求作用量函数 $S$ 满足拉普拉斯方程 ($ abla^2 S = 0$)，从哈密顿-雅可比（HJ）方程的解推导出薛定谔方程的精确解。研究表明，若 $S$ 同时满足 HJ 方程和拉普拉斯方程，则 $ \psi = \exp(iS/\hbar)$ 是薛定谔方程的精确解。其主要贡献在于提出了一套系统方法，用于构造特定势 $V$，使得拉普拉斯方程的已知调和解或线性解可产生精确的量子态。

ABSTRACT

We find the form of the potential depending on the coordinates and the time such that a solution, $S$, of the Hamilton--Jacobi equation yields an exact solution, $\exp ({ m i} S/\hbar)$, of the corresponding Schrödinger equation.

研究动机与目标

• 建立哈密顿-雅可比（HJ）方程解与薛定谔方程精确解之间的直接对应关系。
• 确定满足如下条件的势 $V$ 的类别：即 HJ 方程的解 $S$ 同时满足拉普拉斯方程 ($ abla^2 S = 0$)，从而保证 $ \psi = \exp(iS/\hbar)$ 为精确解。
• 在一维、二维和三维空间中，构造此类势及其对应精确量子态的显式例子。
• 证明由此得到的波函数虽不可归一化，但构成完备集，并且是守恒时间依赖算符的本征函数。

提出的方法

• 从拉普拉斯方程 ($ abla^2 S = 0$) 的解 $S$ 出发，通过 $V = -\frac{\partial S}{\partial t} - \frac{1}{2m}(\nabla S)^2$ 定义势（无磁场时）。
• 利用 $n$ 维空间中拉普拉斯方程的一般解，生成一族使得 $ \psi = \exp(iS/\hbar)$ 精确满足薛定谔方程的势。
• 在一维情况下，使用线性解 $S(x,t) = \alpha(t)x + \beta(t)$ 构造时变均匀势。
• 在二维情况下，采用解析函数 $f(z,t)$，使得 $S = \operatorname{Re}[f(z,t)]$ 满足拉普拉斯方程，从而导出复势，如排斥性谐振子和 $V \propto -1/r^2$。
• 通过组合低维解（如一维和二维）构造三维势，例如排斥性振子与线性势的组合。
• 验证所得波函数是守恒算符（如 $p - Ft$ 或 $e^{\pm \omega t}(p_x \mp m\omega x)$）的本征函数，其本征值对应于 $S$ 中的任意参数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，哈密顿-雅可比方程的解 $S$ 同时满足拉普拉斯方程，从而确保 $ \psi = \exp(iS/\hbar)$ 为薛定谔方程的精确解？
• RQ2 哪些类别的势 $V(x,t)$ 允许从拉普拉斯方程的调和解或线性解构造出精确的量子态？
• RQ3 通过此方法构造的不可归一化波函数能否构成希尔伯特空间的完备基？
• RQ4 从拉普拉斯方程的 $S$-解导出的精确解所关联的守恒量是什么？
• RQ5 如何通过组合低维情形的解，系统地构造高维空间中的解？

主要发现

• 对于任意满足拉普拉斯方程 ($ abla^2 S = 0$) 的解 $S$，若势定义为 $V = -\frac{\partial S}{\partial t} - \frac{1}{2m}(\nabla S)^2$，则波函数 $ \psi = \exp(iS/\hbar)$ 是薛定谔方程的精确解。
• 在一维情况下，解 $S(x,t) = (Ft + P)x - \frac{(Ft + P)^3}{6mF}$ 给出精确解 $ \psi(x,t) = \exp\left(\frac{i}{\hbar}\left[(Ft + P)x - \frac{(Ft + P)^3}{6mF}\right]\right)$，对应于时不变均匀力势 $V = -Fx$。
• 对于时变线性势 $V = -ktx$，解 $S(x,t) = \left(\frac{kt^2}{2} + P\right)x - \frac{1}{2m}\left(\frac{k^2t^5}{20} + \frac{kPt^3}{3} + P^2t\right)$ 导出的薛定谔方程精确解是守恒算符 $p - \frac{1}{2}kt^2$ 的本征函数，本征值为 $P$。
• 在二维情况下，解析函数 $f(z,t) = \frac{m\omega}{2}z^2 + (P_1 e^{-\omega t} - iP_2 e^{\omega t})z + \frac{1}{4m\omega}(P_1 e^{-\omega t} - iP_2 e^{\omega t})^2$ 生成排斥性谐振子势 $V = -\frac{m\omega^2}{2}(x^2 + y^2)$ 的解 $S$，此时 $ \psi$ 是算符 $e^{\omega t}(p_x - m\omega x)$ 和 $e^{-\omega t}(p_y + m\omega y)$ 的本征函数。
• 对于中心势 $V = -k/(x^2 + y^2)$，解 $S = \sqrt{\frac{mk}{2}}\ln(x^2 + y^2)$ 是 HJ 方程和拉普拉斯方程的时不变解，从而产生薛定谔方程的精确解。
• 在三维情况下，将一维线性势与二维排斥性振子势组合，得到势 $V = -\frac{m\omega^2}{2}(x^2 + y^2) - Fz$，其对应的精确解 $ \psi = \exp(iS/\hbar)$ 依赖于三个独立参数 $P_1, P_2, P_3$。