[论文解读] Solutions to degenerate complex Hessian equations

Lu Hoang Chinh|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 32被引用 3

一句话总结

本文在紧致Kähler流形上，通过基于$(\omega,m)$-次调和函数与容量估计的势论框架，建立了退化复Hessian方程连续解的存在性与唯一性。对于具有不变Kähler形式的有理齐次流形，解被证明是Hölder连续的，其Hölder指数显式依赖于维数与$m$。该结果推广了复几何中的Laplace方程与Monge-Ampère方程。

ABSTRACT

Let $(X,ω)$ be an $n$-dimensional compact Kähler manifold. We study degenerate complex Hessian equations of the form $(ω+dd^cφ)^m\wedge ω^{n-m}=F(x,φ)ω^n.$ Under some natural conditions on $F$, this equation has a unique continuous solution. When $(X,ω)$ is rational homogeneous we further show that the solution is Hölder continuous.

研究动机与目标

• 在紧致Kähler流形上建立退化复Hessian方程的势论。
• 在密度$F(x,\varphi)$满足自然可积性与单调性条件时，证明连续解的存在性与唯一性。
• 将理论扩展至有理齐次流形，在此情形下实现解的更高正则性（Hölder连续性）。
• 在统一的Hessian框架下，推广复Monge-Ampère方程与Laplace方程。

提出的方法

• 引入$(\omega,m)$-次调和函数类，作为$\omega$-多重次调和函数的推广。
• 通过基于容量的拟一致收敛概念，定义有界、拟连续的$(\omega,m)$-次调和函数上的复Hessian算子。
• 建立比较原理，并证明Hessian算子在拟一致收敛下的连续性。
• 在连续函数的完备度量空间中使用不动点论证，证明解的存在性。
• 利用有理齐次空间上的Haar积分实现群不变正则化，以提升解的正则性。
• 结合$L^2$与$L^\infty$估计及容量技术，推导解的Hölder连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致Kähler流形上，退化复Hessian方程$(\omega + dd^c\varphi)^m \wedge \omega^{n-m} = F(x,\varphi)\omega^n$在何种条件下存在连续解？
• RQ2 当次调和函数的正则化失效时，如何为复Hessian算子建立一致的势论？
• RQ3 何种额外几何结构（如有理齐次空间）可使连续性提升为Hölder正则性？
• RQ4 在$F$满足自然单调性与可积性条件时，解是否可在加常数意义下唯一确定？

主要发现

• 在条件(F1)-(F3)下，退化复Hessian方程存在唯一连续解，唯一性在加常数意义下成立。
• 当$F(x,\cdot)$关于$\varphi$严格递增时，解唯一且无加常数歧义。
• 在具有$K$-不变$\omega$的有理齐次流形上，解为Hölder连续，其指数满足$\gamma < \frac{2(mp - n)}{mnp + 2mp - 2n}$。
• 当$m = n$时，该Hölder指数退化为[EGZ09]中的已知指数，从而恢复Monge-Ampère情形。
• 解类在群平均下保持稳定，从而在对称空间中实现正则化与正则性传递。
• 基于容量的框架确保了Hessian算子在拟一致收敛下的连续性，将Bedford-Taylor理论推广至Hessian情形。