[论文解读] Solutions to homogeneous Monge-Ampère equations of homothetic functions and their applications to production models in economics

Bang‐Yen Chen|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文分类了满足齐次Monge-Ampère方程的位似生产函数，表明其图像的Gauss-Kronecker曲率为零，当且仅当其基底齐次函数满足Monge-Ampère方程，或位似函数为线性齐次。该结果被应用于关键的经济生产模型，包括Cobb-Douglas函数与ACMS函数，揭示了其图像在欧几里得空间中为平面时的几何条件。

ABSTRACT

Mathematically, a homothetic function is a function of the form $f({\bf x})=F(h(x_1,...,x_n))$, where $h$ is a homogeneous function of any degree $d e 0$ and $F$ is a monotonically increasing function. In economics homothetic functions are production functions whose marginal technical rate of substitution is homogeneous of degree zero. In this paper we classify homothetic functions satisfying the homogeneous Monge-Ampère equation. Several applications to production models in economics will also be given.

研究动机与目标

• 在n维空间中对满足齐次Monge-Ampère方程的位似函数进行分类。
• 确定位似生产函数图像具有零Gauss-Kronecker曲率的几何条件。
• 将该分类结果应用于经典经济生产模型，包括Cobb-Douglas与ACMS函数。
• 阐明生产函数图像的曲率性质与其经济解释之间的关系。
• 以齐次性与函数构成的形式，建立位似生产函数图像平坦性的必要与充分条件。

提出的方法

• 本文利用位似函数的二阶导数的Hessian行列式，分析齐次Monge-Ampère方程。
• 应用Euler齐次函数定理，推导出d ≠ 1的d-齐次函数所满足的微分关系。
• 运用Cramer法则与余子式展开，将f = F(h)的Hessian矩阵与h的Hessian矩阵关联，结合二阶导数的链式法则。
• 分析f = F(h)的Hessian矩阵结构，推导出涉及F′、F′′及h的Hessian余子式的行列式公式。
• 利用已知的线性齐次函数结果，证明此类函数恒满足det(h_ij) = 0。
• 将推导出的条件应用于特定经济生产函数，检验其图像是否平坦（即具有零Gauss-Kronecker曲率）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，位似函数f = F(h)满足齐次Monge-Ampère方程det(f_ij) = 0？
• RQ2 何时位似生产函数的图像为平坦的，即具有零Gauss-Kronecker曲率？
• RQ3 在齐次构造下，哪些经典经济生产函数（如Cobb-Douglas与ACMS函数）具有平坦图像？
• RQ4 基底齐次函数h满足det(h_ij) = 0的条件具有何种几何意义？
• RQ5 生产函数图像的曲率性质如何与其中的齐次度及函数形式相关联？

主要发现

• 若h为d ≠ 1的d-齐次函数且det(h_ij) = 0，则无论F为何（只要F′ ≠ 0），位似函数f = F(h)均满足齐次Monge-Ampère方程。
• 位似函数的图像具有零Gauss-Kronecker曲率，当且仅当h满足det(h_ij) = 0，或f为线性齐次函数。
• 对于Cobb-Douglas函数P = γx₁^α₁⋯xₙ^αₙ，F∘P的图像仅在F与P均为线性时具有零曲率。
• 对于ACMS函数Q = γ(∑aᵢ^ρxᵢ^ρ)^{d/ρ}，F∘Q的图像具有零曲率，当且仅当ρ = 1或f为线性齐次函数。
• 当deg(h) ≠ 1时，det(h_ij) = 0是F∘h平坦性的必要且充分条件；该条件仅在h退化或为线性齐次函数时成立。