[论文解读] Solutions to Master Equations of Quantum Brownian Motion in a General Environment with External Force

Christen H. Fleming, B. L. Hu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2007

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies被引用 4

一句话总结

本文推导了耦合到具有外部力的一般环境的量子布朗振子的HPZ主方程的闭式解，表明对于洛朗级数谱密度，主方程可约化为求解经典参数振子。关键结果是所有初态在长时间后演化为由热库固定协方差、由外部力决定均值的高斯密度矩阵，并提供了明确的末态不确定性和熵公式。

ABSTRACT

We revisit the model of a system made up of a Brownian quantum oscillator under the influence of an external classical force and linearly coupled to an environment made up of many quantum oscillators at zero or finite temperature. We show that the HPZ master equation for the reduced density matrix derived earlier [B.L. Hu, J.P. Paz, Y. Zhang, Phys. Rev. D 45, 2843 (1992)] with coefficients obtained from solutions of integro-differential equations can assume closed functional forms for a fairly general class of spectral densities of the environment at arbitrary temperature and coupling strength. As an illustration of these new results we solve the corresponding master equation and calculate, among other physical quantities, the uncertainty function whose late time behavior can be obtained fully. This produces a formula for investigating the standard quantum limit which is central to addressing many theoretical issues in macroscopic quantum phenomena and experimental concerns related to low temperature precision measurements. We find that any initial state always settles down to a Gaussian density matrix whose covariance is determined by the thermal reservoir and whose mean is determined by the external force. For more general spectra we show that the solution of the master equation can be reduced to solving for the motion of a classical parametric oscillator with parametric frequency determined by the unsolved for master equation coefficients. States in these systems experience evolution that is parametrically similar to the simpler evolution explicitly determined for in the case of Laurent-series spectra.

研究动机与目标

• 推导量子振子在一般环境中受外部力作用的HPZ主方程的精确闭式解。
• 通过将HPZ方程中积分微分系数的复杂性表达为函数形式，解决其在一大类谱密度下的问题。
• 阐明温度、耦合强度以及紫外/红外截断在非马尔可夫动力学和热化过程中的作用。
• 表明主方程的解可约化为求解经典参数振子，从而实现对态演化全过程的完全解析控制。
• 研究在非马尔可夫、有限温度环境中，不确定性、熵以及标准量子极限的行为。

提出的方法

• 作者使用影响泛函路径积分方法，推导出在频率上可展开为洛朗级数的谱密度（含紫外和红外截断）的主方程系数。
• 通过将主方程转化为相空间特征函数，并应用特征线法追踪累积量演化，求解主方程。
• 解被约化为求解一个参数振子的运动方程，其中时间依赖频率由未解出的系数决定。
• 在任意温度和耦合强度下推导出主方程系数的解析表达式，包括末态渐近行为。
• 从解中显式计算出不确定性函数和线性熵，揭示了热化行为。
• 通过修改均值轨迹将外部经典力的影响纳入，同时保持宽度和所有累积量不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对一般谱密度和任意温度下的HPZ主方程实现闭式求解？
• RQ2 在非马尔可夫、有限温度环境中，任意耦合强度下约化密度矩阵的末态行为如何？
• RQ3 紫外和红外截断如何影响主方程系数中的发散，特别是异常扩散项中的发散？
• RQ4 外部经典力在多大程度上影响波包的宽度和形状，而不仅限于其均值？
• RQ5 对于非局域耗散，主方程的完整解在多大程度上可约化为求解经典参数振子问题？

主要发现

• 所有初态在长时间后均演化为高斯密度矩阵，其协方差仅由热库决定，均值由外部力决定。
• 不确定性函数在长时间后趋于有限的、与温度相关的值，且对任意温度和耦合强度均推导出明确的解析表达式。
• 在紫外截断趋于无穷的极限下，正常和异常扩散系数中出现对数发散，表明物理紫外截断的必要性。
• 对零温热库实现任意强耦合时，位置将出现任意精度的局域化，凸显非微扰效应。
• 一般主方程的解可约化为求解一维经典参数振子，其结构形式与局域耗散情况相同。
• 外部力仅影响态的均值，不改变其宽度和所有高阶累积量，证实了在经典驱动下波包形状的稳定性。