[论文解读] Solvability of Differential Riccati Equations and Applications to Algorithmic Trading with Signals

Fayçal Drissi|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2022

Stochastic processes and financial applications被引用 5

一句话总结

本文建立了具有不定系数的矩阵微分Riccati方程（DREs）解的存在性与唯一性，该类方程源于线性-指数-二次高斯（LEQG）控制问题。该结果使基于信号与贝叶斯学习的最优算法交易策略成为可能，包括具备对冲功能的多资产做市策略以及基于漂移估计的最优执行策略。

ABSTRACT

We study a differential Riccati equation (DRE) with indefinite matrix coefficients, which arises in a wide class of practical problems. We show that the DRE solves an associated control problem, which is key to provide existence and uniqueness of a solution. As an application, we solve two algorithmic trading problems in which the agent adopts a constant absolute risk-aversion (CARA) utility function, and where the optimal strategies use signals and past observations of prices to improve their performance. First, we derive a multi-asset market making strategy in over-the-counter markets, where the market maker uses an external trading venue to hedge risk. Second, we derive an optimal trading strategy that uses prices and signals to learn the drift in the asset prices.

研究动机与目标

• 建立一类具有不定矩阵系数的矩阵微分Riccati方程（DREs）解的存在性与唯一性，该类问题未被经典结果覆盖。
• 将DRE解应用于两类算法交易问题：基于信号与外部对冲的多资产做市策略，以及基于贝叶斯学习资产漂移的最优执行策略。
• 提供由DRE解导出的计算高效反馈控制策略，提升实时交易系统中的性能表现。
• 通过引入基于在线学习的时间变参数更新，解决现有执行策略中固定模型参数的局限性。
• 通过允许确定性、时变矩阵系数和状态相关二次成本项，推广先前关于DRE可解性的结果。

提出的方法

• 利用随机控制理论与Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程，推导具有指数效用和不定成本矩阵的LEQG问题的最优控制。
• 对值函数采用二次假设，将HJB偏微分方程（PDE）转化为关于矩阵系数的常微分方程组（ODEs）。
• 通过证明解在紧集内有界且随时间保持最大，从而反证法证明所得到DRE解的存在性与唯一性。
• 采用与Bergault等人（2018）相似的近似技术，处理多变量Ornstein–Uhlenbeck动态下的多资产做市问题。
• 推导出反馈控制律，其中增益矩阵由DRE解获得，从而实现实时报价与对冲计算。
• 通过观测价格与信号对漂移参数进行贝叶斯更新，将在线学习整合进最优控制框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有不定矩阵系数的矩阵微分Riccati方程在何种条件下存在唯一解？
• RQ2 此类DRE如何用于推导包含信号与学习机制的算法交易中的最优反馈控制？
• RQ3 引入信号与历史价格观测对做市与执行策略的性能有何影响？
• RQ4 所提方法如何优于固定参数的执行策略？
• RQ5 DRE解能否用于设计在场外（OTC）市场中计算高效、可实时运行的交易策略？

主要发现

• 通过反证法并利用解矩阵在紧集内的有界性，证明了具有不定矩阵系数的DRE在整个时间范围内存在唯一解。
• LEQG问题的最优控制形式为线性反馈律，其反馈增益由DRE解导出。
• 在多资产做市问题中，该框架整合了信号、客户分层与外部对冲，实现了对大额投资组合的风险平衡报价。
• 在最优执行中，策略基于观测价格与信号对漂移参数进行连续贝叶斯更新，增强了对参数不确定性的鲁棒性。
• DRE解支持最优报价与对冲比率的高效数值计算，对高频交易性能至关重要。
• 值函数被一个包含DRE解的二次型上界所控制，为最优性提供了验证框架。