[论文解读] Solvability of Langevin equations with two Hadamard fractional derivatives via Mittag-Leffler functions

Mohamed I. Abbas, Maria Alessandra Ragusa|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2020

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 9被引用 4

一句话总结

该论文通过Mittag-Leffler函数和不动点定理，建立了涉及两个Hadamard分数阶导数的Langevin方程解的存在性与唯一性。通过将问题转化为等价的Volterra积分方程，利用Schauder不动点定理证明了解的存在性，利用Banach压缩映射原理证明了解的唯一性，并给出了非线性项与分数阶参数的显式条件。

ABSTRACT

In this paper we discuss the solvability of Langevin equations with two Hadamard fractional derivatives. The method of this discussion is to study the solutions of the equivalent Volterra integral equation in terms of Mittag- Leffler functions. The existence and uniqueness results are established by using Schauder fixed point theorem and Banach fixed point theorem respectively. An example is given to illustrate the main results.

研究动机与目标

• 研究涉及两个Hadamard分数阶导数的Langevin方程的可解性，以推广复杂介质中经典模型。
• 通过分析Mittag-Leffler函数形式下的等价Volterra积分方程，弥合现有文献中的研究空白。
• 针对包含Hadamard分数阶导数和非线性源项的两点边值问题，建立解的存在性与唯一性结果。
• 在加权函数空间中利用不动点定理，提供严谨的分析框架。

提出的方法

• 利用Hadamard分数阶积分与导数的性质，将双项Hadamard分数阶Langevin方程转化为等价的Volterra积分方程。
• 采用Mittag-Leffler函数，特别是 $\mathbb{E}_{\alpha,\alpha}(\lambda(\ln t)^\alpha)$，来表达积分公式中的解核。
• 在加权空间 $C_{\gamma,\ln}([1,e],\mathbb{R})$ 中应用Schauder不动点定理，证明至少存在一个解。
• 在非线性项满足Lipschitz条件的前提下，利用Banach不动点定理，建立解的唯一性。
• 利用Beta函数 $\mathbb{B}(a,b)$ 和Gamma函数 $\Gamma(a)$ 来界定积分算子，并推导出压缩条件。
• 在加权空间上定义算子 $\mathcal{H}$，并证明当 $L\omega_2 < 1$ 时，其为压缩映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有两个Hadamard分数阶导数的Langevin方程至少存在一个解？
• RQ2 在何种条件下该系统的解唯一？非线性项的Lipschitz常数起何作用？
• RQ3 Mittag-Leffler函数与Hadamard分数阶微积分如何共同刻画解的结构？
• RQ4 加权空间 $C_{\gamma,\ln}$ 在确保解算子收敛性方面起何作用？
• RQ5 理论结果能否通过具有可计算界的具体例子得到验证？

主要发现

• 在非线性项满足涉及 $L_1$ 和 $L_2$ 的增长有界条件时，利用Schauder不动点定理证明了至少存在一个解。
• 当非线性项满足Lipschitz常数为 $L$ 的Lipschitz条件，且 $L\omega_2 < 1$ 时，利用Banach压缩映射原理建立了解的唯一性。
• 对于 $f(t,x) = \sin\left(\frac{1}{81}|x|\right) + \frac{1}{(1+t)^2}$ 的例子，条件 $L_1\omega_2 \approx 0.377 < 1$ 确认了至少存在一个解。
• 对于 $f(t,x) = \frac{|x|}{(99+t^2)(1+|x|)}$ 的例子，条件 $L\omega_2 \approx 0.306 < 1$ 确认了存在唯一解。
• Mittag-Leffler函数 $\mathbb{E}_{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}(1)$ 计算结果约为 5.573，该值在界定压缩常数时至关重要。
• 推导出的界 $\omega_2 = \frac{\mathbb{B}(\beta,1-\gamma)\mathbb{E}_{\alpha,\alpha}(\lambda)}{\Gamma(\beta)}\left[\mathbb{B}(\alpha,1+\beta-\gamma) + \mathbb{B}(\alpha,\beta)\right]$ 量化了唯一性证明中的压缩因子。