[论文解读] Solvable Sextic Equations

C. Boswell, M. L. Glasser|ArXiv.org|Apr 1, 2005

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文通过分析其伽罗瓦群，利用两个预解方程，为具有有理系数的不可约六次方程是否在 ℂ 上代数可解提供了判定准则。研究结果表明，当且仅当由根的对称函数导出的两个预解多项式（一个15次，一个10次）中至少有一个具有有理根时，该方程可解，从而将杜米特对五次方程的判定方法推广至六次方程。

ABSTRACT

Criteria are given for determining whether an irreducible sextic equation with rational coefficients is algebraically solvable over the complex numbers.

研究动机与目标

• 将杜米特对五次方程的可解性准则推广至具有有理系数的不可约六次方程。
• 确定六次方程的伽罗瓦群为 S₆ 的可迁子群 J 和 K 的子群的必要且充分条件。
• 构造显式的15次和10次预解方程，其有理根可表征原六次方程的可解性。
• 提供基于对称函数与多项式不变量的计算工具，以判断可解性。

提出的方法

• 使用特希恩豪森变换将一般六次方程约化为 x⁶ + x² + dx + e = 0 的形式。
• 识别 S₆ 的两个可迁子群 J = S₂#S₃ 和 K = S₃#Z₂ 为不可约六次方程可能的可解伽罗瓦群。
• 构造在 J 和 K 下不变的对称函数 θ₁ 和 φ₁，其共轭生成预解多项式 f(x) 和 g(x)。
• 将 f(x) 和 g(x) 的系数表示为根的对称多项式，可用约化后六次方程中的 d 和 e 表示。
• 建立伽罗瓦群 G 是 J（相应地 K）的子群当且仅当 f(x)（相应地 g(x)）具有有理根的条件。
• 利用判别式 Δ 进一部细化伽罗瓦群，通过检查 √Δ 是否为有理数，判断其是否属于 A₆。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有有理系数的不可约六次方程在 ℂ 上何时可通过根式求解？
• RQ2 如何利用预解多项式确定六次方程的伽罗瓦群？
• RQ3 根的哪些对称函数对应于 S₆ 中可迁子群 J 和 K 的稳定化子？
• RQ4 是否可通过15次和10次预解方程的有理根来检验六次方程的可解性？
• RQ5 判别式以及 J 和 K 与 A₆ 的交集如何进一步细化可解六次方程伽罗瓦群的分类？

主要发现

• 约化后的六次方程 x⁶ + x² + dx + e = 0 的伽罗瓦群是 J 的子群，当且仅当其15次预解多项式 f(x) 具有有理根。
• 该六次方程的伽罗瓦群是 K 的子群，当且仅当其10次预解多项式 g(x) 具有有理根。
• 当 d = 1/2 时，多项式 36x⁶ + 36x² + 18x + 5 的伽罗瓦群是 J 的子群，因此是可解的。
• 多项式 x⁶ - x² + 2x + 1 = 0 是可解的，其伽罗瓦群是 K 的子群，当 d = 2 且 e = 1 时，由 g(x) 具有有理根得到验证。
• 当 f(x) 和 g(x) 均具有有理根时，伽罗瓦群是 J ∩ K ≅ D₆（12阶二面体群）的子群。
• 判别式 Δ = 46656e⁵ + 13824e³ - 43200d²e² + 22500d⁴e + 1024e - 3125d⁶ - 256d² 用于检验伽罗瓦群是否属于 A₆。