[论文解读] Solving a non-linear model of HIV infection for CD4+T cells by combining Laplace transformation and Homotopy analysis method
本文提出同伦分析变换法（HATM），结合拉普拉斯变换与同伦分析法（HAM），以近似求解HIV感染CD4+ T细胞的非线性系统。该方法通过可调参数实现高精度与收敛性控制，经残差误差分析和$α$-曲线验证，$N=5, 10, 15$次迭代下表现出快速收敛与低误差率。
The aim of this paper is to find the approximate solution of HIV infection model of CD4+T cells. For this reason, the homotopy analysis transform method (HATM) is applied. The presented method is combination of traditional homotopy analysis method (HAM) and the Laplace transformation. The convergence of presented method is discussed by preparing a theorem which shows the capabilities of method. The numerical results are shown for different values of iterations. Also, the regions of convergence are demonstrated by plotting several h-curves. Furthermore in order to show the efficiency and accuracy of method, the residual error for different iterations are presented.
研究动机与目标
- 开发一种稳健的半解析方法，用于求解HIV感染CD4+ T细胞的非线性常微分方程组模型。
- 相较于ADM、VIM或DTM等传统方法，提升收敛性控制与精度。
- 通过收敛性定理、$α$-曲线与残差误差分析验证HATM。
- 通过不同迭代次数与参数的数值模拟，展示该方法的高效性与可靠性。
提出的方法
- 通过将拉普拉斯变换与同伦分析法（HAM）结合，构建同伦分析变换法（HATM）。
- 对非线性常微分方程组系统应用拉普拉斯变换，将其转换为递归代数系统。
- 引入辅助参数$\hbar$以控制收敛性，同时使用辅助函数与线性算子确保解的灵活性。
- 将解表示为级数展开形式，并通过$\hbar$-曲线分析$N=5, 10, 15$次迭代下的收敛性。
- 证明了收敛性定理，从数学上保证该方法的有效性与稳定性。
- 计算残差误差函数，以定量评估不同$\hbar$值与迭代次数下的精度。
实验结果
研究问题
- RQ1HATM能否以高精度与收敛性控制有效近似求解非线性HIV-CD4+ T细胞感染模型的解？
- RQ2辅助参数$\hbar$如何影响HATM解的收敛区域与精度？
- RQ3在残差误差与收敛速度方面，HATM相较于其他半解析方法表现如何？
- RQ4不同迭代次数（$N=5,10,15$）如何影响HATM解的精度与稳定性？
- RQ5HATM能否通过收敛性定理在理论上为该生物系统提供合理依据？
主要发现
- HATM解收敛迅速，残差误差从$N=5$到$N=15$次迭代显著降低。
- 当$N=15$时，$\mathcal{T}(c)$在$c=1.0$处的残差误差低至$2.04689 \times 10^{-7}$，表明精度极高。
- $N=5, 10, 15$的$\hbar$-曲线清晰识别出稳定的收敛区域，证实了该方法的鲁棒性。
- 在$c=0.8$处，$\mathcal{V}(c)$的残差误差降至$7.71528 \times 10^{-6}$（$N=15$），表明迭代次数增加可提升精度。
- 该方法在极低残差误差下实现高精度，例如$N=15$时$\mathcal{T}(c)$在$c=0.4$处的误差仅为$3.8126 \times 10^{-9}$，展现出强大的数值稳定性。
- 收敛性定理提供了理论支持，证实HATM在求解复杂非线性生物系统中的可靠性。
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